Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 378 стр.

378    Спектральная теория линейных эндоморфизмов             Гл. 3

  Теорема 30.4. Квадратные матрицы A, B ∈ L(n, P ) подобны то-
гда и только тогда, когда их характеристические матрицы Eλ − A и
Eλ − B эквивалентны.
  Доказательство. 1. В одну сторону утверждение теоремы совер-
шенно очевидно: если A ∼
                       ◦ ◦ B, т. е.



                            B = T −1 AT                      (30.37)

для некоторой обратимой матрицы T, то, как мы уже знаем из пред-
ложения 17.1, их характеристические матрицы также будут подоб-
ны:
                    Eλ − B = T −1 (Eλ − A)T.             (30.38)
  Формуле (30.37) можно придать вид

                   Eλ − B = U (λ)(Eλ − A)V (λ),              (30.39)

с постоянными (в данном случае) обратимыми (n × n)-матрицами
U (λ) = T −1 и V (λ) = T.
   2. Доказательство обратного утверждения гораздо менее триви-
ально. Пусть выполнено (30.39) с некоторыми (обратимыми над
кольцом многочленов) матрицами U (λ) и V (λ). Докажем [с явным
указанием обратимой матрицы T ∈ GL(n, P )], что матрицы A и B
связаны соотношением типа (30.37).
   С этой целью перепишем соотношение (30.39) в виде

                  W (λ)(Eλ − B) = (Eλ − A)V (λ),             (30.40)

где W (λ) = (U (λ))−1 также [в силу постоянства det(U (λ))] является
полиномиальной матрицей.
   Затем поделим с остатком (как матричные многочлены)
   — W (λ) слева на Eλ − A:

                   W (λ) = (Eλ − A)W1 (λ) + M0 ;             (30.41)

  — V (λ) справа на Eλ − B:

                    V (λ) = V1 (λ)(Eλ − B) + N0 ,            (30.42)

где, согласно матричной теореме Безу,
                                     ←
                            M0 = W (A)                       (30.43)