Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 375 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 30 Каноническая форма Смита полиномиальной матрицы 375
Доказательство сформулированных выше фактов ничем сущест-
венным (кроме непременного слежения за порядком сомножителей)
не отличается от доказательства в скалярном случае.
Если правый (левый) остаток обращается в нуль, то говорят, что
A(λ) является правым (левым) делителем для B(λ). Это фиксиру-
ется с помощью следующих обозначений:
[ A(λ)
→
| B(λ) ] ⇔ [ ∃
→
Q(λ) ] [ B(λ) =
→
Q(λ)A(λ) ]; (30.29)
[ A(λ)
←
| B(λ) ] ⇔ [ ∃
←
Q(λ) ] [ B(λ) = A(λ)
←
Q(λ) ]. (30.29
0
)
[В принципе, определения (30.29) и (30.29
0
) имеют смысл и без
предположения о регулярности A(λ).]
Могут быть определены и изучены два понятия НОД: наиболь-
ший общий левый делитель (НОлД) и наибольший общий правый
делитель (НОпД) для двух матричных многочленов, но мы не бу-
дем останавливаться на этих вопросах.
Переходим к изложению материала, связанного с так называемой
матричной теоремой Безу.
Здесь нам вновь понадобится понятие характеристической мат-
рицы (см. п. 17.1 в настоящем пособии)
C(λ) = Eλ − A, (30.30)
соответствующей квадратной матрице A (с элементами из поля P ).
Полиномиальная матрица (30.30) является нормализованным и, сле-
довательно, регулярным матричным двучленом первой степени.
Значит, на нее можно поделить с остатком (как слева, так и спра-
ва) любой матричный многочлен
F (λ) = F
0
λ
m
+ F
1
λ
m−1
+ ... + F
m−1
λ + F
m
. (30.31)
Справедлива следующая
Теорема 30.3 (матричная теорема Безу). 1. Правым (левым)
остатком от деления матричного многочлена F (λ) на двучлен Eλ−A
служит правое (левое) значение F (λ) на матрице A, т. е. справедливы
формулы:
F (λ) =
→
Q(λ)(Eλ − A) + F (
→
A); (30.32)
F (λ) = (Eλ − A)
←
Q(λ) + F (
←
A). (30.32
0
)
§ 30   Каноническая форма Смита полиномиальной матрицы 375

   Доказательство сформулированных выше фактов ничем сущест-
венным (кроме непременного слежения за порядком сомножителей)
не отличается от доказательства в скалярном случае.
   Если правый (левый) остаток обращается в нуль, то говорят, что
A(λ) является правым (левым) делителем для B(λ). Это фиксиру-
ется с помощью следующих обозначений:
               →              →               →
         [ A(λ) | B(λ) ] ⇔ [ ∃ Q(λ) ] [ B(λ) = Q(λ)A(λ) ];   (30.29)
               ←              ←                    ←
         [ A(λ) | B(λ) ] ⇔ [ ∃ Q(λ) ] [ B(λ) = A(λ)Q(λ) ].   (30.290 )
   [В принципе, определения (30.29) и (30.290 ) имеют смысл и без
предположения о регулярности A(λ).]
   Могут быть определены и изучены два понятия НОД: наиболь-
ший общий левый делитель (НОлД) и наибольший общий правый
делитель (НОпД) для двух матричных многочленов, но мы не бу-
дем останавливаться на этих вопросах.
   Переходим к изложению материала, связанного с так называемой
матричной теоремой Безу.
   Здесь нам вновь понадобится понятие характеристической мат-
рицы (см. п. 17.1 в настоящем пособии)

                             C(λ) = Eλ − A,                  (30.30)

соответствующей квадратной матрице A (с элементами из поля P ).
Полиномиальная матрица (30.30) является нормализованным и, сле-
довательно, регулярным матричным двучленом первой степени.
   Значит, на нее можно поделить с остатком (как слева, так и спра-
ва) любой матричный многочлен

          F (λ) = F0 λm + F1 λm−1 + ... + Fm−1 λ + Fm .      (30.31)

   Справедлива следующая

   Теорема 30.3 (матричная теорема Безу). 1. Правым (левым)
остатком от деления матричного многочлена F (λ) на двучлен Eλ−A
служит правое (левое) значение F (λ) на матрице A, т. е. справедливы
формулы:
                             →                    →
                     F (λ) = Q(λ)(Eλ − A) + F (A);           (30.32)
                                       ←          ←
                     F (λ) = (Eλ − A)Q(λ) + F (A).           (30.320 )

Страницы