Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 373 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 30 Каноническая форма Смита полиномиальной матрицы 373
Переход от полиномиальных квадратных матриц к матричным
многочленам дает возможность определения значений полиномиаль-
ной матрицы на матрицах (т. е. подстановки квадратной матрицы
вместо переменной λ в матричный многочлен), подобно тому, как
это делалось в п. 29.1 для скалярных многочленов.
Здесь однако приходится рассматривать два (вообще говоря, раз-
личных) значения матричного многочлена A
n×n
(λ) на (постоянной)
матрице C
n×n
:
— правое значение, соответствующее записи матричного много-
члена в виде (30.22):
A(
→
C) = A
0
C
m
+ A
1
C
m−1
+ ... + A
m−1
C + A
m
; (30.26)
— левое значение, соответствующее записи (30.22
0
):
A(
←
C) = C
m
A
0
+ C
m−1
A
1
+ ... + CA
m−1
+ A
m
. (30.26
0
)
В простейшем случае, когда все коэффициенты многочлена A(λ)
являются скалярными матрицами [или, что равносильно, когда этот
многочлен происходит от некоторого скалярного многочлена a(λ);
см. формулу (30.25m)], правое и левое значения (на любой матри-
це C) не отличаются.
Без труда, как и в скалярном случае, доказывается, что правое
(левое) значение суммы A(λ) + B(λ) двух матричных многочленов
на произвольной матрице C равно сумме значений этих многочленов
на C. А вот аналогичное свойство
(A · B)(
→
C) = A(
→
C) · B(
→
C) (30.27)
для правого (и аналогично — левого) значения произведения мат-
ричных многочленов оказывается, вообще говоря, ложным.
Пример 30.3. Достаточно рассмотреть два линейных многочле-
на A(λ) = A
0
λ и B(λ) = B
0
λ. Их произведение будет многочленом
(A · B)(λ) = A
0
B
0
λ
2
.
Правые значения этих трех многочленов на матрице C равны со-
ответственно:
A(
→
C) = A
0
C; B(
→
C) = B
0
C; (A · B)(
→
C) = A
0
B
0
C
2
.
§ 30   Каноническая форма Смита полиномиальной матрицы 373

   Переход от полиномиальных квадратных матриц к матричным
многочленам дает возможность определения значений полиномиаль-
ной матрицы на матрицах (т. е. подстановки квадратной матрицы
вместо переменной λ в матричный многочлен), подобно тому, как
это делалось в п. 29.1 для скалярных многочленов.
   Здесь однако приходится рассматривать два (вообще говоря, раз-
личных) значения матричного многочлена A (λ) на (постоянной)
                                                  n×n
матрице C :
          n×n
  — правое значение, соответствующее записи матричного много-
члена в виде (30.22):
           →
         A(C) = A0 C m + A1 C m−1 + ... + Am−1 C + Am ;        (30.26)

   — левое значение, соответствующее записи (30.220 ):
           ←
        A(C) = C m A0 + C m−1 A1 + ... + CAm−1 + Am .          (30.260 )

   В простейшем случае, когда все коэффициенты многочлена A(λ)
являются скалярными матрицами [или, что равносильно, когда этот
многочлен происходит от некоторого скалярного многочлена a(λ);
см. формулу (30.25m)], правое и левое значения (на любой матри-
це C) не отличаются.
   Без труда, как и в скалярном случае, доказывается, что правое
(левое) значение суммы A(λ) + B(λ) двух матричных многочленов
на произвольной матрице C равно сумме значений этих многочленов
на C. А вот аналогичное свойство
                               →      →       →
                      (A · B)(C) = A(C) · B(C)                 (30.27)

для правого (и аналогично — левого) значения произведения мат-
ричных многочленов оказывается, вообще говоря, ложным.
  Пример 30.3. Достаточно рассмотреть два линейных многочле-
на A(λ) = A0 λ и B(λ) = B0 λ. Их произведение будет многочленом

                        (A · B)(λ) = A0 B0 λ2 .

  Правые значения этих трех многочленов на матрице C равны со-
ответственно:
            →              →                      →
          A(C) = A0 C; B(C) = B0 C; (A · B)(C) = A0 B0 C 2 .

Страницы