Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 371 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 30 Каноническая форма Смита полиномиальной матрицы 371
и рассмотрим A(λ) как многочлен степени m от переменной λ с
матричными коэффициентами (или, выражаясь короче, матрич-
ный многочлен):
A(λ) = A
0
λ
m
+ A
1
λ
m−1
+ ... + A
m−1
λ + A
m
, (30.22)
где матрица A
k
∈ L(n, P ) (k = 0, ... , m) составляется из коэффициен-
тов при λ
m−k
во всех многочленах — элементах матрицы A(λ); стар-
ший коэффициент A
0
, как и полагается, отличен от нуля (A
0
6= O).
Пример 30.2. Полиномиальную матрицу
A(λ) =
µ
2λ
2
− λ 3λ
2
+ 2λ + 1
λ − 2 −3λ
можно представить как матричный многочлен (степени 2):
A(λ) = A
0
λ
2
+ A
1
λ + A
2
=
=
µ
2 3
0 0
λ
2
+
µ
−1 2
1 −3
λ +
µ
0 1
−2 0
.
Раньше мы рассматривали многочлены над полями или над ком-
мутативными кольцами; множество L(n, P ) всех (n×n)-матриц (с ал-
гебраическими действиями сложения и умножения) также является
кольцом, но уже (при n > 2) — некоммутативным. Теория много-
членов с такими коэффициентами на начальных этапах развивается
вполне аналогично теории обычных многочленов, с единственным
запретом: при вычислении произведения многочленов
Ã
m
X
i=0
A
i
λ
m−i
!
·
l
X
j=0
B
j
λ
l−j
=
m+l
X
k=0
C
k
λ
m+l−k
, (30.23)
где
C
k
=
X
i,j>0
i+j=k
A
i
B
j
, (30.24)
нельзя переставлять матрицы-сомножители в произведениях A
i
B
j
.
Кроме того, проявляется еще одна особенность (встречающаяся
и в коммутативном случае): при умножении многочленов возможно
§ 30   Каноническая форма Смита полиномиальной матрицы 371

и рассмотрим A(λ) как многочлен степени m от переменной λ с
матричными коэффициентами (или, выражаясь короче, матрич-
ный многочлен):

         A(λ) = A0 λm + A1 λm−1 + ... + Am−1 λ + Am ,                          (30.22)

где матрица Ak ∈ L(n, P ) (k = 0, ... , m) составляется из коэффициен-
тов при λm−k во всех многочленах — элементах матрицы A(λ); стар-
ший коэффициент A0 , как и полагается, отличен от нуля (A0 6= O).
   Пример 30.2. Полиномиальную матрицу
                                µ                               ¶
                                    2λ2 − λ      3λ2 + 2λ + 1
                       A(λ) =
                                     λ−2             −3λ

можно представить как матричный многочлен (степени 2):

  A(λ) = A0 λ2 + A1 λ + A2 =
                         µ     ¶     µ                          ¶        µ          ¶
                           2 3    2    −1                  2                  0 1
                       =         λ +                                λ+                  .
                           0 0          1                  −3                −2 0


   Раньше мы рассматривали многочлены над полями или над ком-
мутативными кольцами; множество L(n, P ) всех (n×n)-матриц (с ал-
гебраическими действиями сложения и умножения) также является
кольцом, но уже (при n > 2) — некоммутативным. Теория много-
членов с такими коэффициентами на начальных этапах развивается
вполне аналогично теории обычных многочленов, с единственным
запретом: при вычислении произведения многочленов
        Ã   m
                           !  l          
                                              m+l
            X                  X              X
                  Ai λ m−i
                            ·   Bj λ l−j  =     Ck λm+l−k ,                  (30.23)
            i=0                 j=0                  k=0

где                                      X
                                Ck =             Ai Bj ,                       (30.24)
                                         i,j>0
                                        i+j=k

нельзя переставлять матрицы-сомножители в произведениях Ai Bj .
   Кроме того, проявляется еще одна особенность (встречающаяся
и в коммутативном случае): при умножении многочленов возможно

Страницы