Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 368 стр.

368    Спектральная теория линейных эндоморфизмов            Гл. 3

миальной матрицы A каноническую форму Смита S (над соответ-
ствующим кольцом), а также — обратимые матрицы U и V , такие,
что S = U AV . Одна из возможных версий — команда SmithForm
входит в пакет LinearAlgebra. Нет сомнений, что (уже привыкшие
к синтаксису Maple-команд) читатели самостоятельно разберутся в
соответствующей help-странице.
  Вернемся к изучению отношения эквивалентности полиномиаль-
ных матриц. Мы уже имеем два набора инвариантов для описания
классов эквивалентности:
  — ранг r и список НОДМ’ов

                d(A) = [d(A)     (A)
                         1 (λ), d2 (λ), ... , dr (λ)];
                                               (A)
                                                            (30.18)

  — ранг r и список инвариантных многочленов

                µ(A) = [µ(A)     (A)
                         1 (λ), µ2 (λ), ... , µr (λ)].
                                               (A)
                                                            (30.19)

   Понадобится еще один, во многих отношениях более удобный на-
бор, составленный из так называемых элементарных делителей для
полиномиальной матрицы.
   Получаются они следующим образом: каждый из (отличных от
единицы) и.м. разлагается на (нормализованные) неприводимые мно-
жители (см. [A1 , п. 45.5]).
   В сгруппированном разложении (попарно различные) неприводи-
мые множители будут фигурировать в некоторых степенях.
   Примарными или элементарными делителями (э.д.) для инва-
                                                                 k
риантного многочлена µ(A) s (λ) называются выражения вида (f (λ)) ,
где f (λ) — какой-либо из неприводимых множителей для µ(A)  s (λ),
                                         k
k — натуральное число, такое, что (f (λ)) есть наивысшая степень
указанного неприводимого многочлена, делящая указанный инвари-
антный многочлен.
   В силу соотношений (30.16), всякий неприводимый многочлен,
входящий (в какой-то степени) в разложение для некоторого и.м.,
будет входить (в такой же или в более высокой степени) в разло-
жение для следующего по номеру инвариантного многочлена (если
таковой имеется).
   Далее формируется список всех э.д. (для всех и.м.).
   С этой целью как-либо упорядочиваются (нумеруются) все непри-
водимые многочлены, участвующие в разложении последнего по сче-
ту и.м.; затем, по группам (каждая из которых отвечает одному