Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 364 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

364 Спектральная теория линейных эндоморфизмов Гл. 3
По-прежнему элементарные матрицы оказываются обратимыми
(их определители являются ненулевыми константами). Чтобы "от-
следить" всю цепочку элементарных преобразований над строка-
ми, формируется обратимая полиномиальная матрица U(λ) размера
m ×m, которую можно получить, дублируя каждое из преобразова-
ний над строками A(λ) точно таким же преобразованием над стро-
ками единичной матрицы E
m
. Аналогично, элементарные преобра-
зования над столбцами "накапливаются" в обратимой (n × n)-мат-
рице V (λ).
В результате эквивалентность матриц
A(λ) ∼ B(λ) (30.11)
оказывается выраженной соотношением
B
m×n
(λ) = U
m×m
(λ) · A
m×n
(λ) · V
n×n
(λ), (30.12)
с обратимыми полиномиальными матрицами U(λ) и V (λ).
[Из формулируемой ниже теоремы 30.2 будет следовать тот факт,
что (30.12), в свою очередь, влечет (30.11). С учетом этого, вы мо-
жете сравнить исследуемое здесь понятие эквивалентности матриц
над кольцом многочленов с ранее изученным (см. п. 13.3 настояще-
го пособия) понятием эквивалентности матриц над полем. Особое
внимание обратите на предложение 13.3; в теореме 30.2 оно получит
очень интересное и нетривиальное обобщение.]
Далее, с помощью формулы Бине — Коши (30.8), легко устанавли-
вается, что эквивалентные полиномиальные матрицы имеют равные
ранги и их соответствующие НОДМ’ы одинаковы, т. е. (30.11) влечет
rank(A(λ)) = rank(B(λ)) (= r) (30.13)
и
(∀s = 1, ... , r) [d
(A)
s
(λ) = d
(B)
s
(λ)] . (30.14)
Справедливость обратного утверждения также будет зафиксиро-
вана ниже, в теореме 30.2.
А пока мы обратимся к формулировке еще одной из наиболее
принципиальных и важных теорем линейной алгебры.
364    Спектральная теория линейных эндоморфизмов            Гл. 3

   По-прежнему элементарные матрицы оказываются обратимыми
(их определители являются ненулевыми константами). Чтобы "от-
следить" всю цепочку элементарных преобразований над строка-
ми, формируется обратимая полиномиальная матрица U (λ) размера
m × m, которую можно получить, дублируя каждое из преобразова-
ний над строками A(λ) точно таким же преобразованием над стро-
ками единичной матрицы Em . Аналогично, элементарные преобра-
зования над столбцами "накапливаются" в обратимой (n × n)-мат-
рице V (λ).
   В результате эквивалентность матриц

                            A(λ) ∼ B(λ)                     (30.11)

оказывается выраженной соотношением

                 B (λ) = U (λ) · A (λ) · V (λ),             (30.12)
                m×n       m×m        m×n       n×n


с обратимыми полиномиальными матрицами U (λ) и V (λ).
   [Из формулируемой ниже теоремы 30.2 будет следовать тот факт,
что (30.12), в свою очередь, влечет (30.11). С учетом этого, вы мо-
жете сравнить исследуемое здесь понятие эквивалентности матриц
над кольцом многочленов с ранее изученным (см. п. 13.3 настояще-
го пособия) понятием эквивалентности матриц над полем. Особое
внимание обратите на предложение 13.3; в теореме 30.2 оно получит
очень интересное и нетривиальное обобщение.]
   Далее, с помощью формулы Бине — Коши (30.8), легко устанавли-
вается, что эквивалентные полиномиальные матрицы имеют равные
ранги и их соответствующие НОДМ’ы одинаковы, т. е. (30.11) влечет

                  rank(A(λ)) = rank(B(λ)) (= r)             (30.13)

и
                 (∀s = 1, ... , r) [d(A)
                                     s (λ) = ds (λ)] .
                                              (B)
                                                            (30.14)

  Справедливость обратного утверждения также будет зафиксиро-
вана ниже, в теореме 30.2.
  А пока мы обратимся к формулировке еще одной из наиболее
принципиальных и важных теорем линейной алгебры.

Страницы