Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 361 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 30 Каноническая форма Смита полиномиальной матрицы 361
обратимым элементом в кольце P [λ], т. е. является ненулевой кон-
стантой.
Обычным образом определяется присоединенная матрица A
∨
(λ)
(как транспонированная к матрице из алгебраических дополнений
к элементам данной матрицы). Сохраняет силу основное свойство
присоединенной матрицы (см. п. 28.3 в [A
1
]):
A(λ) · A
∨
(λ) = A
∨
(λ) · A(λ) = det(A(λ)) · E, (30.2)
а также вытекающий из него способ вычисления обратной матрицы
(в предположении, что она существует):
A
−1
(λ) =
1
det(A(λ))
A
∨
(λ); det(A(λ)) = a ∈ P \ {0}. (30.2а)
Для определения ранга полиномиальной матрицы пригодным ока-
зывается "четвертый способ" (через миноры; см. п. 30.2 в [A
1
]). Од-
нако невырожденность квадратной матрицы (т. е. максимальность
ее ранга) уже не влечет теперь ее обратимость.
Вообще вычисления с минорами приобретают особое значение,
как важнейший метод в линейной алгебре над кольцами. Удобно
бывает обобщить понятие минора следующим образом.
Выберем в матрице (30.1) какие-либо s строк с номерами, состав-
ляющими мультииндекс (термин см. в п. 48.1 пособия [A
1
])
I = (i
1
i
2
... i
s
); i
α
∈ {1, ..., m} (1 6 α 6 s), (30.3)
где номера i
α
не обязательно различны и не обязательно идут по
порядку; аналогичным образом выберем s столбцов:
J = (j
1
j
2
... j
s
); j
β
∈ {1, ..., n} (1 6 β 6 s). (30.4)
Рассмотрим (s × s)-матрицу, составленную из элементов
a
i
α
j
β
(λ); 1 6 α, β 6 s.
Определитель этой матрицы называется обобщенным минором по-
рядка s для матрицы A и обозначается
A
µ
I
J
= A
µ
i
1
i
2
... i
s
j
1
j
2
... j
s
. (30.5)
§ 30   Каноническая форма Смита полиномиальной матрицы 361

обратимым элементом в кольце P [λ], т. е. является ненулевой кон-
стантой.
   Обычным образом определяется присоединенная матрица A∨ (λ)
(как транспонированная к матрице из алгебраических дополнений
к элементам данной матрицы). Сохраняет силу основное свойство
присоединенной матрицы (см. п. 28.3 в [A1 ]):

              A(λ) · A∨ (λ) = A∨ (λ) · A(λ) = det(A(λ)) · E,         (30.2)

а также вытекающий из него способ вычисления обратной матрицы
(в предположении, что она существует):

                       1
       A−1 (λ) =             A∨ (λ); det(A(λ)) = a ∈ P \ {0}.       (30.2а)
                   det(A(λ))

   Для определения ранга полиномиальной матрицы пригодным ока-
зывается "четвертый способ" (через миноры; см. п. 30.2 в [A1 ]). Од-
нако невырожденность квадратной матрицы (т. е. максимальность
ее ранга) уже не влечет теперь ее обратимость.
   Вообще вычисления с минорами приобретают особое значение,
как важнейший метод в линейной алгебре над кольцами. Удобно
бывает обобщить понятие минора следующим образом.
   Выберем в матрице (30.1) какие-либо s строк с номерами, состав-
ляющими мультииндекс (термин см. в п. 48.1 пособия [A1 ])

              I = (i1 i2 ... is ); iα ∈ {1, ..., m} (1 6 α 6 s),     (30.3)

где номера iα не обязательно различны и не обязательно идут по
порядку; аналогичным образом выберем s столбцов:

              J = (j1 j2 ... js ); jβ ∈ {1, ..., n} (1 6 β 6 s).     (30.4)

   Рассмотрим (s × s)-матрицу, составленную из элементов

                           aiα jβ (λ); 1 6 α, β 6 s.

  Определитель этой матрицы называется обобщенным минором по-
рядка s для матрицы A и обозначается
                          µ ¶        µ                      ¶
                           I             i1   i2   ... is
                      A         =A                              .    (30.5)
                           J             j1   j2   ... js

Страницы