Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 358 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

358 Спектральная теория линейных эндоморфизмов Гл. 3
По такой функции однозначно определяется многочлен p(λ) (на-
зываемый интерполяционным полиномом Эрмита), степени, не пре-
вышающей l − 1, такой, что в каждой точке λ
i
совпадают значения
этого многочлена и данной функции, а также — значения всех их
(соответствующих) производных, вплоть до порядка l
i
− 1:
p
(k)
(λ
i
) = f
(k)
(λ
i
); k = 0, 1, ... , l
i
− 1; i = 1, ... , s. (29.36)
К сожалению, объяснить способ отыскания полинома Эрмита в
общем случае (для произвольной функции f(λ) описанного класса,
по произвольным попарно различным точкам λ
i
и произвольным на-
туральным показателям l
i
) здесь было бы затруднительным (ввиду
того, что наши читатели-первокурсники пока не обладают соответ-
ствующей аналитической подготовкой).
В то же время, в частном случае простого спектра, когда имеет-
ся n попарно различных точек и все показатели l
i
= 1, соответству-
ющий многочлен выписать очень легко. В этой ситуации он име-
нуется интерполяционным полиномом Лагранжа, имеет степень не
выше n−1 и совпадает с данной функцией в точках λ
i
. (Вообще: ин-
терполяция — это замена какой-либо функции на некоторую более
простую функцию, связанную с данной некоторыми соотношениями
в некоторых точках.)
Чтобы не "затемнять суть дела многоточиями", мы покажем мно-
гочлен Лагранжа для n = 4:
p(λ)=f(λ
1
)
(λ−λ
2
)(λ−λ
3
)(λ−λ
4
)
(λ
1
−λ
2
)(λ
1
−λ
3
)(λ
1
−λ
4
)
+f(λ
2
)
(λ−λ
1
)(λ−λ
3
)(λ−λ
4
)
(λ
2
−λ
1
)(λ
2
−λ
3
)(λ
2
−λ
4
)
+
+f(λ
3
)
(λ−λ
1
)(λ−λ
2
)(λ−λ
4
)
(λ
3
−λ
1
)(λ
3
−λ
2
)(λ
3
−λ
4
)
+f(λ
4
)
(λ−λ
1
)(λ−λ
2
)(λ−λ
3
)
(λ
4
−λ
1
)(λ
4
−λ
2
)(λ
4
−λ
4
)
.
После интерполирования данной функции f(λ) полиномом Эрми-
та p(λ) реализуется основная идея: по определению полагается, что
f(A) = p(A), (29.37)
т. е. фактически вычисление функции от матрицы A заменяется вы-
числением подходящего многочлена от A. (Обратите внимание на
то, что этот многочлен зависит не только от данной функции, но и
от данной матрицы.)
Замечание 29.7. Возможен и другой (тоже аналитический) под-
ход к введению функций от матрицы. Он использует понятие схо-
дящегося степенного ряда и поэтому также не может быть строго
358     Спектральная теория линейных эндоморфизмов                          Гл. 3

   По такой функции однозначно определяется многочлен p(λ) (на-
зываемый интерполяционным полиномом Эрмита), степени, не пре-
вышающей l − 1, такой, что в каждой точке λi совпадают значения
этого многочлена и данной функции, а также — значения всех их
(соответствующих) производных, вплоть до порядка li − 1:

       p(k) (λi ) = f (k) (λi ); k = 0, 1, ... , li − 1; i = 1, ... , s.   (29.36)

   К сожалению, объяснить способ отыскания полинома Эрмита в
общем случае (для произвольной функции f (λ) описанного класса,
по произвольным попарно различным точкам λi и произвольным на-
туральным показателям li ) здесь было бы затруднительным (ввиду
того, что наши читатели-первокурсники пока не обладают соответ-
ствующей аналитической подготовкой).
   В то же время, в частном случае простого спектра, когда имеет-
ся n попарно различных точек и все показатели li = 1, соответству-
ющий многочлен выписать очень легко. В этой ситуации он име-
нуется интерполяционным полиномом Лагранжа, имеет степень не
выше n−1 и совпадает с данной функцией в точках λi . (Вообще: ин-
терполяция — это замена какой-либо функции на некоторую более
простую функцию, связанную с данной некоторыми соотношениями
в некоторых точках.)
   Чтобы не "затемнять суть дела многоточиями", мы покажем мно-
гочлен Лагранжа для n = 4:
                 (λ−λ2 )(λ−λ3 )(λ−λ4 )          (λ−λ1 )(λ−λ3 )(λ−λ4 )
  p(λ)=f (λ1 ) (λ −λ )(λ −λ )(λ −λ ) +f (λ2 ) (λ −λ )(λ −λ )(λ −λ ) +
                  1  2    1  3   1    4          2  1    2  3   2    4

                            (λ−λ1 )(λ−λ2 )(λ−λ4 )          (λ−λ1 )(λ−λ2 )(λ−λ3 )
                 +f (λ3 ) (λ −λ )(λ −λ )(λ −λ ) +f (λ4 ) (λ −λ )(λ −λ )(λ −λ ) .
                             3  1    3  2   3    4          4  1    4  2   4    4


   После интерполирования данной функции f (λ) полиномом Эрми-
та p(λ) реализуется основная идея: по определению полагается, что

                                   f (A) = p(A),                           (29.37)

т. е. фактически вычисление функции от матрицы A заменяется вы-
числением подходящего многочлена от A. (Обратите внимание на
то, что этот многочлен зависит не только от данной функции, но и
от данной матрицы.)
  Замечание 29.7. Возможен и другой (тоже аналитический) под-
ход к введению функций от матрицы. Он использует понятие схо-
дящегося степенного ряда и поэтому также не может быть строго

Страницы