Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 356 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

356 Спектральная теория линейных эндоморфизмов Гл. 3
ж.н.ф. равносильно равенству
P
s
i=1
m
i
= n для суммы алгебраиче-
ских кратностей собственных значений.
Минимальный многочлен g
A
(λ) имеет, согласно формуле (29.28),
степень, равную сумме
l =
s
X
i=1
l
i
(29.32)
соответствующих показателей стабилизации.
В силу неравенств l
i
6 m
i
[или, что равносильно, — факта дели-
мости (29.31)], можно заключить что равенство
g
A
(λ) = h
A
(λ) (29.33)
имеет место тогда и только тогда, когда выполняется любое из сле-
дующих условий:
— l
i
= m
i
для всех i = 1, ..., s;
— каждая из столбчатых диаграмм D
i
имеет только один столбец;
— в ж.н.ф. J матрицы A каждому собственному значению λ
i
от-
вечает лишь один ж.я.
В частности, если A имеет простой спектр (т. е. n попарно раз-
личных собственных значений), то равенство (29.33) справедливо.
В заключение пункта разберем два простых примера вычисления
минимальных аннулирующих многочленов (которые будут служить
продолжениями для ранее рассмотренных примеров на приведение
матриц к ж.н.ф.).
Пример 29.3. Снова обратимся к матрице A из демонстрацион-
ного примера к ТР2 (см. п. 28.3). Характеристическими корнями
для этой матрицы, как мы уже знаем, являются λ
1
= 1 (кратности
m
1
= 1) и λ
2
= −2 (кратности m
2
= 7). Найдены уже и показатели
стабилизации: l
1
= 1 и l
2
= 4.
Этого достаточно для представления характеристического и ми-
нимального аннулирующего многочленов (в виде разложений на ли-
нейные множители):
h
A
(λ) = (λ − 1)(λ + 2)
7
;
g
A
(λ) = (λ − 1)(λ + 2)
4
.
356    Спектральная теория линейных эндоморфизмов          Гл. 3
                             Ps
ж.н.ф. равносильно равенству i=1 mi = n для суммы алгебраиче-
ских кратностей собственных значений.
   Минимальный многочлен gA (λ) имеет, согласно формуле (29.28),
степень, равную сумме
                               Xs
                           l=     li                     (29.32)
                                 i=1

соответствующих показателей стабилизации.
   В силу неравенств li 6 mi [или, что равносильно, — факта дели-
мости (29.31)], можно заключить что равенство

                          gA (λ) = hA (λ)                 (29.33)

имеет место тогда и только тогда, когда выполняется любое из сле-
дующих условий:
  — li = mi для всех i = 1, ..., s;
  — каждая из столбчатых диаграмм Di имеет только один столбец;
  — в ж.н.ф. J матрицы A каждому собственному значению λi от-
вечает лишь один ж.я.
  В частности, если A имеет простой спектр (т. е. n попарно раз-
личных собственных значений), то равенство (29.33) справедливо.
  В заключение пункта разберем два простых примера вычисления
минимальных аннулирующих многочленов (которые будут служить
продолжениями для ранее рассмотренных примеров на приведение
матриц к ж.н.ф.).
   Пример 29.3. Снова обратимся к матрице A из демонстрацион-
ного примера к ТР2 (см. п. 28.3). Характеристическими корнями
для этой матрицы, как мы уже знаем, являются λ1 = 1 (кратности
m1 = 1) и λ2 = −2 (кратности m2 = 7). Найдены уже и показатели
стабилизации: l1 = 1 и l2 = 4.
   Этого достаточно для представления характеристического и ми-
нимального аннулирующего многочленов (в виде разложений на ли-
нейные множители):

                     hA (λ) = (λ − 1)(λ + 2)7 ;

                     gA (λ) = (λ − 1)(λ + 2)4 .

Страницы