Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 354 стр.

354    Спектральная теория линейных эндоморфизмов           Гл. 3

   В силу первой части доказательства, будет справедливо равен-
ство (29.9). И хотя получено оно над более широким полем P , но
все элементы матрицы и все коэффициенты ее характеристического
многочлена принадлежат P, так что доказываемое равенство спра-
ведливо именно над P. ¤
   Замечание 29.2. В разных учебниках по линейной алгебре реа-
лизуются различные подходы к построению спектральной теории.
Наиболее употребительными являются следующие две методики:
   — первая, условно называемая "геометрической", в качестве ос-
новного объекта рассматривает линейные операторы (эндоморфиз-
мы), для которых строятся (из собственных и корневых векторов)
жордановы базисы; именно она принята в наших основных учебни-
ках [1] и [2] и представлена в настоящем учебном пособии;
   — вторая, условно называемая "алгебраической", имеет дело пре-
имущественно с матрицами, причем активно используются матрицы
над кольцом многочленов (называемые полиномиальными), для ко-
торых строится так называемая теория Смита, основанная на вза-
имодействии алгоритма Гаусса приведения матриц к ступенчатому
виду и алгоритма Евклида вычисления НОД для многочленов; ее
мы сможим коснуться лишь обзорно (см. следующий параграф).
   В зависимости от подхода меняются роль и значение теоремы Га-
мильтона — Кэли. У нас она доказывается уже после того, как основ-
ные результаты (такие, например, как большая теорема Жордана)
установлены.
   При втором подходе эта теорема является ключевой, с нее начи-
нается развитие теории.
   Скажем, в учебнике А. И. Мальцева [17] теорема Гамильтона —
Кэли появляется уже в третьем параграфе первой главы, сразу после
изучения определителей. Мы настоятельно советуем любознатель-
ным читателям ознакомиться с совершенно элементарным доказа-
тельством, приведенным в указанной книге. Отметим также, что
абсолютной классикой в изложении теории Смита является фунда-
ментальная монография Ф. Р. Гантмахера [11]. Ни один математик,
работающий с матрицами, не может обойтись без обращения к этому
обстоятельному и мастерски написанному труду.
   Ниже, в § 30 (помеченном звездочкой) будет эскизно намечен один
из вариантов второго подхода. В частности , мы "передокажем" тео-
рему Гамильтона — Кэли с помощью очень интересного направления
в линейной алгебре — теории многочленов с матричными коэффи-
циентами.