Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 352 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

352 Спектральная теория линейных эндоморфизмов Гл. 3
Согласно первому утверждению предложения 29.2, g
J
(λ) равняет-
ся НОК минимальных аннулирующих многочленов для диагональ-
ных блоков матрицы J, являющихся ж.я. вида J
k
(λ
i
) .
Среди ж.я., отвечающих одному и тому же характеристическому
корню λ
i
, всегда имеется ящик наибольшего размера l
i
.
(Напомним "операторный смысл" числовой характеристики l
i
.
Это — показатель стабилизации для л.э. ψ
i
= ϕ − λ
i
ε, связанно-
го с матрицей B
i
= A − λ
i
E.
Есть еще и "диаграммный смысл": l
i
равняется высоте наивыс-
шего столбца в столбчатой диаграмме D
i
, отвечающей λ
i
.)
В силу первого утверждения настоящей теоремы, многочлен
(λ − λ
i
)
l
i
будет аннулирующим для каждого из ж.я., отвечающих
λ
i
, и, следовательно, — для всего большого блока J
i
(см. диагр. 26.2
и 27.1 в прил. 3).
Многочлены (λ −λ
i
)
l
i
, отвечающие всевозможным λ
i
(i = 1, ..., s),
являются взаимно простыми, и, следовательно, их НОК равняется
их произведению (материал о НОД, НОК и взаимной простоте мно-
гочленов см. в [A
1
, § 38]).
Согласно второму утвереждению предложения 29.2, получим
g
J
(λ) = НОК(g
J
1
(λ), g
J
2
(λ), ... , g
J
s
(λ)) =
= НОК((λ − λ
1
)
l
1
, (λ − λ
2
)
l
2
, ... , (λ − λ
s
)
l
s
) =
= (λ − λ
1
)
l
1
(λ − λ
2
)
l
2
... (λ − λ
s
)
l
s
,
что и доказывает формулу (29.28). ¤
29.3. Теорема Гамильтона — Кэли. Доказанная выше тео-
рема 29.1 не только дает способ вычисления минимального много-
члена для квадратной матрицы (примеры будут даны ниже), но и
позволяет совсем просто доказать одну из самых знаменитых теорем
линейной алгебры.
Теорема 29.2 (теорема Гамильтона — Кэли). Пусть A — (n ×n)-
матрица с элементами из поля P . Характеристический многочлен
h
A
(λ) = det(λE − A) для матрицы A является аннулирующим для
нее, т. е.
h
A
(A) = O. (29.29)
352     Спектральная теория линейных эндоморфизмов                          Гл. 3

    Согласно первому утверждению предложения 29.2, gJ (λ) равняет-
ся НОК минимальных аннулирующих многочленов для диагональ-
ных блоков матрицы J, являющихся ж.я. вида Jk (λi ) .
    Среди ж.я., отвечающих одному и тому же характеристическому
корню λi , всегда имеется ящик наибольшего размера li .
    (Напомним "операторный смысл" числовой характеристики li .
Это — показатель стабилизации для л.э. ψi = ϕ − λi ε, связанно-
го с матрицей Bi = A − λi E.
    Есть еще и "диаграммный смысл": li равняется высоте наивыс-
шего столбца в столбчатой диаграмме Di , отвечающей λi .)
    В силу первого утверждения настоящей теоремы, многочлен
(λ − λi )li будет аннулирующим для каждого из ж.я., отвечающих
λi , и, следовательно, — для всего большого блока Ji (см. диагр. 26.2
и 27.1 в прил. 3).
    Многочлены (λ − λi )li , отвечающие всевозможным λi (i = 1, ..., s),
являются взаимно простыми, и, следовательно, их НОК равняется
их произведению (материал о НОД, НОК и взаимной простоте мно-
гочленов см. в [A1 , § 38]).
    Согласно второму утвереждению предложения 29.2, получим

  gJ (λ) = НОК(gJ1 (λ), gJ2 (λ), ... , gJs (λ)) =
             = НОК((λ − λ1 )l1 , (λ − λ2 )l2 , ... , (λ − λs )ls ) =
                                      = (λ − λ1 )l1 (λ − λ2 )l2 ... (λ − λs )ls ,

что и доказывает формулу (29.28). ¤

  29.3. Теорема Гамильтона — Кэли. Доказанная выше тео-
рема 29.1 не только дает способ вычисления минимального много-
члена для квадратной матрицы (примеры будут даны ниже), но и
позволяет совсем просто доказать одну из самых знаменитых теорем
линейной алгебры.

   Теорема 29.2 (теорема Гамильтона — Кэли). Пусть A — (n × n)-
матрица с элементами из поля P. Характеристический многочлен
hA (λ) = det(λE − A) для матрицы A является аннулирующим для
нее, т. е.
                           hA (A) = O.                  (29.29)

Страницы