Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 348 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

348 Спектральная теория линейных эндоморфизмов Гл. 3
отыскания всех многочленов, обращающихся в нуль на заданном эле-
менте (л.э. или квадратной матрице), представляет уже серьезный
интерес.
Определение 29.2. Многочлен f(λ) ∈ P [λ] называется аннули-
рующим многочленом (а.м.) для л.э. ϕ ∈ L(V ) (для квадратной
матрицы A), если f(ϕ) = o (соответственно f(A) = O).
В силу теоремы 12.1, если в некотором базисе B пространства V
эндоморфизму ϕ отвечает матрица A, то многочлен f(λ) является
аннулирующим для ϕ в том и только том случае, когда он является
аннулирующим для матрицы A.
Нулевой многочлен, разумеется, является аннулирующим для лю-
бого л.э. (любой квадратной матрицы). Но и ненулевые аннулирую-
щие многочлены всегда существуют. Действительно, если A — мат-
рица размера n ×n, то ее неотрицательные степени A
k
(k = 0, ..., n
2
)
образуют систему, содержащую n
2
+ 1 векторов в n
2
-мерном линей-
ном пространстве L(n, P ). Такая с.в. обязательно линейно зависима,
т. е. найдутся скаляры α
k
∈ P, не все равные нулю и такие, что
n
2
X
k=0
α
k
A
k
= O.
Тем самым доказано существование многочлена
f(λ) =
n
2
X
k=0
α
k
λ
k
,
степени, не превышающей n
2
, аннулирующегося на матрице A.
Вскоре мы убедимся, что эта оценка степени а.м. слишком груба:
для матрицы A всегда найдется а.м. степени, не превышающей n.
Но пока нам достаточно того, что для A ∈ L(n, P ) всегда существует
ненулевой аннулирующий многочлен.
Всякий многочлен, делящийся на аннулирующий, сам является
таковым.
Среди ненулевых а.м. для A можно выбрать многочлен наимень-
шей возможной степени. Обозначим любой из таких многочленов
символом g(λ) и убедимся в том, что любой анулирующий A много-
член f(λ) делится на g(λ).
В самом деле, поделим с остатком f(λ) на g(λ):
f(λ) = g(λ)q(λ) + p(λ), (29.23)
348     Спектральная теория линейных эндоморфизмов              Гл. 3

отыскания всех многочленов, обращающихся в нуль на заданном эле-
менте (л.э. или квадратной матрице), представляет уже серьезный
интерес.
  Определение 29.2. Многочлен f (λ) ∈ P [λ] называется аннули-
рующим многочленом (а.м.) для л.э. ϕ ∈ L(V ) (для квадратной
матрицы A), если f (ϕ) = o (соответственно f (A) = O).
   В силу теоремы 12.1, если в некотором базисе B пространства V
эндоморфизму ϕ отвечает матрица A, то многочлен f (λ) является
аннулирующим для ϕ в том и только том случае, когда он является
аннулирующим для матрицы A.
   Нулевой многочлен, разумеется, является аннулирующим для лю-
бого л.э. (любой квадратной матрицы). Но и ненулевые аннулирую-
щие многочлены всегда существуют. Действительно, если A — мат-
рица размера n × n, то ее неотрицательные степени Ak (k = 0, ..., n2 )
образуют систему, содержащую n2 + 1 векторов в n2 -мерном линей-
ном пространстве L(n, P ). Такая с.в. обязательно линейно зависима,
т. е. найдутся скаляры αk ∈ P, не все равные нулю и такие, что
                             2
                           n
                           X
                                 αk Ak = O.
                           k=0

  Тем самым доказано существование многочлена
                                     2
                                    n
                                    X
                          f (λ) =         αk λk ,
                                    k=0

степени, не превышающей n2 , аннулирующегося на матрице A.
   Вскоре мы убедимся, что эта оценка степени а.м. слишком груба:
для матрицы A всегда найдется а.м. степени, не превышающей n.
Но пока нам достаточно того, что для A ∈ L(n, P ) всегда существует
ненулевой аннулирующий многочлен.
   Всякий многочлен, делящийся на аннулирующий, сам является
таковым.
   Среди ненулевых а.м. для A можно выбрать многочлен наимень-
шей возможной степени. Обозначим любой из таких многочленов
символом g(λ) и убедимся в том, что любой анулирующий A много-
член f (λ) делится на g(λ).
   В самом деле, поделим с остатком f (λ) на g(λ):
                       f (λ) = g(λ)q(λ) + p(λ),                (29.23)

Страницы