Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 341 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 29 Многочлены от матриц. Аннулирующие многочлены 341
Доказательство коммутирования (29.9) немедленно следует из
коммутирования (29.2) степеней л.э. ϕ (и все тех же законов опе-
раторной алгебры).
Предположим теперь, что данное линейное пространство V явля-
ется конечномерным и dim(V ) = n. Фиксация произвольного базиса
B в пространстве V позволяет установить изоморфизм между ал-
геброй L(V ) л.э., действующих в V, и алгеброй квадратных (n ×n)-
матриц L(n, P ).
Многочлены от квадратных матриц определяются точно так же,
как многочлены от л.э.
Определение 29.1
0
. Значением многочлена (29.3) от матрицы
A ∈ L(n, P ) называется матрица
f(A) = a
0
A
r
+ a
1
A
r−1
+ ... + a
r−1
A + a
r
E. (29.4
0
)
Разумеется (в силу общей теоремы 12.1), если матрица A отвечает
оператору ϕ в базисе B, то (в том же базисе) матрица f(A) отвечает
оператору f(ϕ), и, как следствие, для многочленов от квадратных
матриц справедливы все свойства, установленные выше для много-
членов от л.э.
Во многих (но не во всех) отношениях работа с матрицами дает
больше, чем работа с операторами, поскольку она "охотнее подда-
ется компьютеризации". В связи с этим мы отметим два свойства
многочленов от квадратных матриц (которые допускают и оператор-
ную формулировку, но все-таки легче представляются на матричном
языке).
1. Если квадратная матрица A является блочно-диагональной:
A = diag(A
1
, A
2
, ... , A
s
), (29.10)
то и значение многочлена f(λ) ∈ P [λ] на этой матрице вычисляется
поблочно:
f(A) = diag(f(A
1
), f(A
2
), ... , f(A
s
)). (29.11)
Это утверждение непосредственно вытекает из замечания 20.4.
2. Если две квадратные матрицы A и B подобны, т. е.
B = T
−1
AT (29.12)
§ 29   Многочлены от матриц. Аннулирующие многочлены            341

   Доказательство коммутирования (29.9) немедленно следует из
коммутирования (29.2) степеней л.э. ϕ (и все тех же законов опе-
раторной алгебры).
   Предположим теперь, что данное линейное пространство V явля-
ется конечномерным и dim(V ) = n. Фиксация произвольного базиса
B в пространстве V позволяет установить изоморфизм между ал-
геброй L(V ) л.э., действующих в V, и алгеброй квадратных (n × n)-
матриц L(n, P ).
   Многочлены от квадратных матриц определяются точно так же,
как многочлены от л.э.
  Определение 29.10 . Значением многочлена (29.3) от матрицы
A ∈ L(n, P ) называется матрица

             f (A) = a0 Ar + a1 Ar−1 + ... + ar−1 A + ar E.   (29.40 )


   Разумеется (в силу общей теоремы 12.1), если матрица A отвечает
оператору ϕ в базисе B, то (в том же базисе) матрица f (A) отвечает
оператору f (ϕ), и, как следствие, для многочленов от квадратных
матриц справедливы все свойства, установленные выше для много-
членов от л.э.
   Во многих (но не во всех) отношениях работа с матрицами дает
больше, чем работа с операторами, поскольку она "охотнее подда-
ется компьютеризации". В связи с этим мы отметим два свойства
многочленов от квадратных матриц (которые допускают и оператор-
ную формулировку, но все-таки легче представляются на матричном
языке).
   1. Если квадратная матрица A является блочно-диагональной:

                       A = diag(A1 , A2 , ... , As ),         (29.10)

то и значение многочлена f (λ) ∈ P [λ] на этой матрице вычисляется
поблочно:
               f (A) = diag(f (A1 ), f (A2 ), ... , f (As )). (29.11)

   Это утверждение непосредственно вытекает из замечания 20.4.
   2. Если две квадратные матрицы A и B подобны, т. е.

                              B = T −1 AT                     (29.12)

Страницы