Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 340 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

340 Спектральная теория линейных эндоморфизмов Гл. 3
сопоставляющее каждому многочлену его значение на (фиксирован-
ном) л.э. ϕ. Формула (29.5) является обобщением формулы (39.2)
из пособия [A
1
], определявшей значение f(c) многочлена (29.3) на
произвольном скаляре c из поля коэффициентов.
Отображение (29.5) является гомоморфизмом колец, т. е. согласо-
вано с алгебраическими действиями сложения и умножения:
(f + g)(ϕ) = f(ϕ) + g(ϕ); (29.6a)
(fg)(ϕ) = f(ϕ)g(ϕ), (29.6b)
где g(λ) также является многочленом над P.
Формула (29.6а) совершенно очевидна; (29.6b), в принципе, — то-
же, но здесь имеются (уже неоднократно встречавшиеся нам) "под-
водные камни", связанные с тонким различием между многочленами
и соответствующими полиномиальными функциями.
Просмотрите еще раз выкладку (39.7) в пособии [A
1
], с помощью
которой мы доказывали аналогичное свойство для полиномиальных
функций f(c) и g(c) скалярного аргумента c ∈ P. В ней ничего
не придется менять и в рассматриваемом здесь случае многочленов
f(ϕ) и g(ϕ) от "операторного аргумента" ϕ ∈ L (V ). В обоих случаях
решающим звеном в рассуждении является правило перемножения
функций, отвечающих одночленам. В случае многочленов от ϕ это
правило имеет вид
(f
k
ϕ
k
)(g
l
ϕ
l
) = (f
k
g
l
)ϕ
k+l
и вытекает из соотношений (29.2) [и других законов алгебры л.э.].
Важным следствием соотношения (29.6b) является следующее за-
ключение: если многочлен f(λ) разлагается на линейные множите-
ли:
f(λ) = a
0
(λ − λ
1
)
m
1
(λ − λ
2
)
m
2
... (λ − λ
s
)
m
s
, (29.7)
где λ
i
∈ P ; m
i
∈ N (i = 1, ..., s);
P
s
i=1
m
i
= r, то и после подстановки
вместо переменной λ эндоморфизма ϕ равенство сохраняет силу:
f(ϕ) = a
0
(ϕ − λ
1
ε)
m
1
(ϕ − λ
2
ε)
m
2
... (ϕ − λ
s
ε)
m
s
. (29.8)
Имеет место еще одно, очень существенное, свойство многочле-
нов от л.э. Для любых двух многочленов f(λ), g(λ) ∈ P [λ] и любого
эндоморфизма ϕ ∈ L(V ) значения f(ϕ) и g(ϕ) являются коммутиру-
ющими л.э.:
f(ϕ)g(ϕ) = g(ϕ)f(ϕ). (29.9)
340     Спектральная теория линейных эндоморфизмов                 Гл. 3

сопоставляющее каждому многочлену его значение на (фиксирован-
ном) л.э. ϕ. Формула (29.5) является обобщением формулы (39.2)
из пособия [A1 ], определявшей значение f (c) многочлена (29.3) на
произвольном скаляре c из поля коэффициентов.
  Отображение (29.5) является гомоморфизмом колец, т. е. согласо-
вано с алгебраическими действиями сложения и умножения:

                        (f + g)(ϕ) = f (ϕ) + g(ϕ);                (29.6a)

                           (f g)(ϕ) = f (ϕ)g(ϕ),                  (29.6b)
где g(λ) также является многочленом над P.
   Формула (29.6а) совершенно очевидна; (29.6b), в принципе, — то-
же, но здесь имеются (уже неоднократно встречавшиеся нам) "под-
водные камни", связанные с тонким различием между многочленами
и соответствующими полиномиальными функциями.
   Просмотрите еще раз выкладку (39.7) в пособии [A1 ], с помощью
которой мы доказывали аналогичное свойство для полиномиальных
функций f (c) и g(c) скалярного аргумента c ∈ P. В ней ничего
не придется менять и в рассматриваемом здесь случае многочленов
f (ϕ) и g(ϕ) от "операторного аргумента" ϕ ∈ L(V ). В обоих случаях
решающим звеном в рассуждении является правило перемножения
функций, отвечающих одночленам. В случае многочленов от ϕ это
правило имеет вид

                        (fk ϕk )(gl ϕl ) = (fk gl )ϕk+l

и вытекает из соотношений (29.2) [и других законов алгебры л.э.].
   Важным следствием соотношения (29.6b) является следующее за-
ключение: если многочлен f (λ) разлагается на линейные множите-
ли:
              f (λ) = a0 (λ − λ1 )m1 (λ − λ2 )m2 ... (λ − λs )ms , (29.7)
                                    Ps
где λi ∈ P ; mi ∈ N (i = 1, ..., s); i=1 mi = r, то и после подстановки
вместо переменной λ эндоморфизма ϕ равенство сохраняет силу:

        f (ϕ) = a0 (ϕ − λ1 ε)m1 (ϕ − λ2 ε)m2 ... (ϕ − λs ε)ms .    (29.8)

  Имеет место еще одно, очень существенное, свойство многочле-
нов от л.э. Для любых двух многочленов f (λ), g(λ) ∈ P [λ] и любого
эндоморфизма ϕ ∈ L(V ) значения f (ϕ) и g(ϕ) являются коммутиру-
ющими л.э.:
                      f (ϕ)g(ϕ) = g(ϕ)f (ϕ).                  (29.9)

Страницы