Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 339 стр.

§ 29   Многочлены от матриц. Аннулирующие многочлены              339

которых справедливы обычные законы (см. п. 12.1).
   Композиция в алгебре L(V ) играет роль умножения и позволя-
ет определить неотрицательные степени (итерации) ϕk для любого
л.э. ϕ (причем нулевая степень считается равной тождественному
эндоморфизму: ϕ0 = ε).
   Действие умножения л.э. ϕ на скаляр λ ∈ P может быть сведе-
но к умножению (композиции) эндоморфизма ϕ и так называемого
скалярного эндоморфизма λε:

                        λϕ = λε ◦ ϕ = ϕ ◦ λε,                    (29.1)

причем не важно, с какой стороны располагать скалярный множи-
тель. (Последнее обстоятельство связано с тем, что, хотя алгебра
L(V ) не коммутативна, т. е. сомножители в произведении ϕ ◦ ψ пе-
реставлять, вообще говоря, нельзя, скалярные эндоморфизмы пере-
становочны со всеми л.э.)
   Нам понадобится также следующий факт (справедивый для эле-
ментов произвольных колец): степени одного и того же элемента
коммутируют между собой. Применительно к алгебре л.э. можем
записать:
                    ϕk ◦ ϕl = ϕl ◦ ϕk (= ϕk+l ).           (29.2)
  Впредь мы условимся опускать "слишком громоздкий" знак умно-
жения ◦ (подобно тому, как это делалось в теории перестановок;
см. [A1 , гл. 3]).
  Рассмотрим теперь произвольный многочлен

               f (λ) = a0 λr + a1 λr−1 + ... + ar−1 λ + ar       (29.3)

степени r, от переменной λ, с коэффициентами ai ∈ P (i = 1, ... , r);
a0 6= 0.
   Определение 29.1. Значением многочлена (29.3) от линейного
эндоморфизма (или: на линейном эндоморфизме) ϕ ∈ L(V ) называ-
ется л.э.
            f (ϕ) = с0 ϕr + с1 ϕr−1 + ... + сr−1 ϕ + сr ε. (29.4)
  Для нулевого многочлена его значением от любого л.э. считается
нулевой эндоморфизм o.
   Так возникает отображение вычисления:

           νϕ : P [λ] −→ L(V ); f (λ) 7→ f (ϕ); f (λ) ∈ P [λ],   (29.5)