Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 468 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

468 Линейные, билинейные и квадратичные формы Гл. 4
с C
2
n
= n(n − 1)/2 неизвестными наддиагональными элементами t
ij
(1 6 i < j 6 n). Для однозначного определения этих элементов до-
статочно получить "крамеровскую" систему с таким же количеством
линейных уравнений, т. е. квадратную с.л.у., главный определитель
которой отличен от нуля (см. [A
1
, п. 29.2]).
Выполним матричное умножение AT , точно вычисляя лишь диа-
гональные и наддиагональные элементы (поддиагональные клетки
заполним звездочками; их содержимое будет нам безразлично):
AT =
a
11
a
11
t
12
+ a
12
a
11
t
13
+ a
12
t
23
+ a
13
. . .
P
n−1
j=1
a
1j
t
jn
+ a
1n
∗ a
21
t
12
+ a
22
a
21
t
13
+ a
22
t
23
+ a
23
. . .
P
n−1
j=1
a
2j
t
jn
+ a
2n
∗ ∗ a
31
t
13
+ a
32
t
23
+ a
33
. . .
P
n−1
j=1
a
3j
t
jn
+ a
3n
. . . . . . . . . . . . . . .
∗ ∗ ∗ . . .
P
n−1
j=1
a
nj
t
jn
+ a
nn
.
Потребуем, чтобы C
2
n
наддиагональных элементов в последней
матрице обращались в нуль:
[AT ]
ij
= 0; (1 6 i < j 6 n). (37.8)
Если мы этого добьемся, то вычисление произведения T
t
(AT ) даст
(поскольку при умножении нули как раз придутся на звездочки) сле-
дующий результат:
T
t
AT =
1 0 0 . . . 0
t
12
1 0 . . . 0
t
13
t
23
1 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . .
t
1n
t
2n
t
3n
. . . 1
·
µ
1
0 0 . . . 0
∗ µ
2
0 . . . 0
∗ ∗ µ
3
. . . 0
. . . . . . . . . . . . . . .
∗ ∗ ∗ . . . µ
n
=
=
µ
1
0 0 . . . 0
0 µ
2
0 . . . 0
0 0 µ
3
. . . 0
. . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . µ
n
,
468        Линейные, билинейные и квадратичные формы                                 Гл. 4

с Cn2 = n(n − 1)/2 неизвестными наддиагональными элементами tij
(1 6 i < j 6 n). Для однозначного определения этих элементов до-
статочно получить "крамеровскую" систему с таким же количеством
линейных уравнений, т. е. квадратную с.л.у., главный определитель
которой отличен от нуля (см. [A1 , п. 29.2]).
   Выполним матричное умножение AT , точно вычисляя лишь диа-
гональные и наддиагональные элементы (поддиагональные клетки
заполним звездочками; их содержимое будет нам безразлично):

                                                                   Pn−1
      a11 a11 t12 + a12 a11 t13 + a12 t23 + a13 . . .               j=1      a1j tjn + a1n
                                                                   Pn−1
       ∗    a21 t12 + a22 a21 t13 + a22 t23 + a23 . . .             j=1      a2j tjn + a2n
                                                                   Pn−1
AT = ∗            ∗        a31 t13 + a32 t23 + a33 . . .            j=1      a3j tjn + a3n .
    ...         ...                     ...                 ...               ...
                                                                   Pn−1
       ∗          ∗                      ∗                  ...       j=1    anj tjn + ann

  Потребуем, чтобы Cn2 наддиагональных элементов в последней
матрице обращались в нуль:

                       [AT ]ij = 0; (1 6 i < j 6 n).                                 (37.8)

   Если мы этого добьемся, то вычисление произведения T t (AT ) даст
(поскольку при умножении нули как раз придутся на звездочки) сле-
дующий результат:

                  1    0     0    ...        0    µ1    0         0   ...      0
                 t12   1     0    ...        0     ∗    µ2        0   ...      0
      T t AT = t13 t23       1    ...        0 · ∗      ∗         µ3 . . .     0 =
                 ... ... ... ... ...              ... ... ... ... ...
                 t1n t2n t3n . . .           1     ∗    ∗         ∗   . . . µn

                             µ1    0          0   ...   0
                             0    µ2          0   ...   0
                           = 0     0         µ3 . . .   0 ,
                            ... ... ... ... ...
                             0     0          0   . . . µn

Страницы