Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 467 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 37 Диагонализация по Якоби. Метод Грама — Шмидта 467
Теорема 37.1 (теорема Якоби). Пусть V — n-мерное линей-
ное пространство над полем P , характеристики, отличной от двух;
f и h — соответствующие друг другу симметрическая билинейная и
квадратичная формы на пространстве V ; B = [b
1
, ... , b
n
] — некото-
рый базис в V.
Если формам f и h отвечает в базисе B матрица A, удовлетво-
ряющая условию Якоби, то в пространстве V существует базис D,
связанный с исходным базисом B верхней унитреугольной матрицей
перехода T и являющийся диагонализирующим для данных форм,
причем диагональные элементы диагональной матрицы D, отвечаю-
щей в базисе D формам f и h, могут быть выражены через угловые
миноры (37.2) по формулам
µ
i
=
∆
i
∆
i−1
; i = 1, ... n. (37.4)
Доказательство. Рассмотрим симметрическую матрицу A с "вы-
гороженными" угловыми минорами:
A =
a
11
a
12
a
13
. . . a
1n
a
21
a
22
a
23
. . . a
2n
a
31
a
32
a
33
. . . a
3n
. . . . . . . . . . . . . . .
a
n1
a
n2
a
n3
. . . a
nn
. (37.5)
(Здесь и далее в доказательстве нам показалось уместным пред-
ставление матриц не в обычной записи, но — обрамленными таблица-
ми. Когда в качестве элементов матриц служат достаточно длинные
выражения, табличная форма более наглядна.)
Матрицу перехода T такую, чтобы матрица
D = T
t
AT (37.6)
была диагональной, будем искать в предопределенном теоремой ви-
де — как верхнюю унитреугольную:
T =
1 t
12
t
13
. . . t
1n
0 1 t
23
. . . t
2n
0 0 1 . . . t
3n
. . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . 1
, (37.7)
§ 37   Диагонализация по Якоби. Метод Грама — Шмидта            467

   Теорема 37.1 (теорема Якоби). Пусть V — n-мерное линей-
ное пространство над полем P , характеристики, отличной от двух;
f и h — соответствующие друг другу симметрическая билинейная и
квадратичная формы на пространстве V ; B = [b1 , ... , bn ] — некото-
рый базис в V.
   Если формам f и h отвечает в базисе B матрица A, удовлетво-
ряющая условию Якоби, то в пространстве V существует базис D,
связанный с исходным базисом B верхней унитреугольной матрицей
перехода T и являющийся диагонализирующим для данных форм,
причем диагональные элементы диагональной матрицы D, отвечаю-
щей в базисе D формам f и h, могут быть выражены через угловые
миноры (37.2) по формулам
                         ∆i
                       µi =  ; i = 1, ... n.          (37.4)
                        ∆i−1
  Доказательство. Рассмотрим симметрическую матрицу A с "вы-
гороженными" угловыми минорами:
                          a11 a12 a13 . . . a1n
                          a21 a22 a23 . . . a2n
                     A = a31 a32 a33 . . . a3n .               (37.5)
                          ... ... ... ... ...
                          an1 an2 an3 . . . ann
   (Здесь и далее в доказательстве нам показалось уместным пред-
ставление матриц не в обычной записи, но — обрамленными таблица-
ми. Когда в качестве элементов матриц служат достаточно длинные
выражения, табличная форма более наглядна.)
   Матрицу перехода T такую, чтобы матрица
                              D = T t AT                       (37.6)
была диагональной, будем искать в предопределенном теоремой ви-
де — как верхнюю унитреугольную:
                          1    t12 t13 . . . t1n
                          0     1   t23 . . . t2n
                     T = 0      0   1      . . . t3n ,         (37.7)
                         ... ... ... ... ...
                          0     0   0      ...    1

Страницы