Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 466 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

466 Линейные, билинейные и квадратичные формы Гл. 4
Рассмотрим симметрическую (n × n)-матрицу A ∈ L
s
(n, P ) с эле-
ментами из поля P (как всегда в этой главе, характеристики, отлич-
ной от двух).
Рассмотрим далее последовательность квадратных подматриц се-
веро-западного угла:
A
(k)
k×k
= (a
ij
)
k
i,j=1
; k = 1, ... , n; (37.1)
все они также являются симметрическими, первая из них являет-
ся одноэлементной: A
(1)
= (a
11
), последняя совпадает с исходной
матрицей: A
(n)
= A.
Определители подматриц (37.1)
∆
k
= det(A
(k )
); k = 1, ... , n (37.2)
принято называть угловыми минорами для матрицы A. Для едино-
образия записи последующих формул к скалярам (37.2) добавляется
еще один: ∆
0
= 1.
Определение 37.1. Говорят, что матрица A ∈ L
s
(n, P ) удовле-
творяет условию Якоби, если все угловые миноры (37.2), кроме, мо-
жет быть, последнего, ∆
n
= det(A), отличны от нуля:
∆
k
6= 0; k = 1, 2, ... , n − 1. (37.3)
Замечание 37.1. Из определения 37.1 следует, что (n×n)-матрица,
удовлетворяющая условию Якоби, либо невырожденна, либо имеет
ранг n − 1. Ясно, что этого не достаточно. Скажем, матрица
A =
0 1 0
1 1 0
0 0 0
симметрична, имеет ранг 2, но условию Якоби не удовлетворяет по
очевидной причине: ∆
1
= a
11
= 0.
Однако в этом примере (и в некоторых других простых случаях)
удается заменить данную матрицу, не удовлетворяющую условию
Якоби, на конгруэнтную матрицу, удовлетворяющую ему. Обыч-
но это делается с помощью перестановочного перехода. Переставив
в A первый и второй столбцы, и, одновременно, — первую и вторую
строки, мы придем к матрице
A
0
=
1 1 0
1 0 0
0 0 0
,
для которой ∆
1
= 1, ∆
2
= −1, ∆
3
= 0.
466    Линейные, билинейные и квадратичные формы            Гл. 4

   Рассмотрим симметрическую (n × n)-матрицу A ∈ Ls (n, P ) с эле-
ментами из поля P (как всегда в этой главе, характеристики, отлич-
ной от двух).
   Рассмотрим далее последовательность квадратных подматриц се-
веро-западного угла:
                  A(k) = (aij )ki,j=1 ; k = 1, ... , n;     (37.1)
                   k×k
все они также являются симметрическими, первая из них являет-
ся одноэлементной: A(1) = (a11 ), последняя совпадает с исходной
матрицей: A(n) = A.
   Определители подматриц (37.1)
                   ∆k = det(A(k) ); k = 1, ... , n          (37.2)
принято называть угловыми минорами для матрицы A. Для едино-
образия записи последующих формул к скалярам (37.2) добавляется
еще один: ∆0 = 1.
  Определение 37.1. Говорят, что матрица A ∈ Ls (n, P ) удовле-
творяет условию Якоби, если все угловые миноры (37.2), кроме, мо-
жет быть, последнего, ∆n = det(A), отличны от нуля:
                    ∆k 6= 0; k = 1, 2, ... , n − 1.         (37.3)
   Замечание 37.1. Из определения 37.1 следует, что (n×n)-матрица,
удовлетворяющая условию Якоби, либо невырожденна, либо имеет
ранг n − 1. Ясно, что этого не достаточно. Скажем, матрица
                                       
                                0 1 0
                          A = 1 1 0
                                0 0 0
симметрична, имеет ранг 2, но условию Якоби не удовлетворяет по
очевидной причине: ∆1 = a11 = 0.
   Однако в этом примере (и в некоторых других простых случаях)
удается заменить данную матрицу, не удовлетворяющую условию
Якоби, на конгруэнтную матрицу, удовлетворяющую ему. Обыч-
но это делается с помощью перестановочного перехода. Переставив
в A первый и второй столбцы, и, одновременно, — первую и вторую
строки, мы придем к матрице
                                       
                                1 1 0
                         A0 =  1 0 0  ,
                                0 0 0
для которой ∆1 = 1, ∆2 = −1, ∆3 = 0.

Страницы