Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 464 стр.

464     Линейные, билинейные и квадратичные формы               Гл. 4

   36.2. Скелетный вид для с.б.ф. (кв.ф.) над алгебраиче-
ски замкнутым полем. Получив диагональный вид для симмет-
рической билинейной (квадратичной) формы, мы не обязаны успо-
каиваться на достигнутом. Поскольку такой вид определен не одно-
значно (см. замечание 36.2), то естественно попытаться его, насколь-
ко возможно, упростить. Логично для этого использовать замены с
диагональными матрицами перехода (именно так мы и поступали в
указанном замечании).
   Если поле P , над которым заданы формы, является алгебраиче-
ски замкнутым, то можно достичь "весьма радикального" упроще-
ния диагонали, а именно — привести матрицу к скелетному виду.
   (Здесь есть, однако, существенные отличия от ситуации, изучав-
шейся в §§ 6, 14 пособия [A1 ] и в § 13 настоящего пособия. Во-первых,
рассматриваются лишь симметрические квадратные матрицы, а во-
вторых, применяется другой класс преобразований: матрицы заме-
няются не на эквивалентные, но на конгруэнтные. Конгруэнтность
же отличается от эквивалентности тем, что всякое элементарное пре-
образование над столбцами квадратной матрицы дублируется точно
таким же преобразованием над ее строками, и наоборот. Иначе не
обеспечить сохранение свойства симметричности матрицы.)


   Предложение 36.1. Пусть P — алгебраически замкнутое поле,
характеристика которого отлична от двух, V — n-мерное линейное
пространство над полем P , f и h — соответствующие друг другу
с.б.ф. и кв.ф., заданные на пространстве V , r — их ранг. Тогда в
пространстве V существует такой диагонализирующий базис, в ко-
тором формам f и h отвечает матрица скелетного вида, единствен-
ными ненулевыми элементами которой являются r единиц в начале
главной диагонали.

  Доказательство. Сразу оговоримся: требование алгебраической
замкнутости поля P является в данном случае чрезмерным. На са-
мом деле нам достоточного того, чтобы из любого элемента поля
можно было извлечь квадратный корень, или, другими словами, в P
должны быть разрешимы все уравнения вида x2 = a (a ∈ P ).
  Приступаем к доказательству. Существование хотя бы какого-
нибудь диагонализирующего базиса B гарантируется теоремой Лаг-
ранжа. Будем считать, что формам f и h в базисе B отвечает матри-
ца (35.12). Подберем обратимую диагональную матрицу (36.22) так,