Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 465 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 37 Диагонализация по Якоби. Метод Грама — Шмидта 465
чтобы матрица (36.23) стала скелетной. Для этого нужно взять:
τ
i
=
1
√
µ
i
, при i = 1, ... , r;
1, при i = r + 1, ... , n,
(36.24)
где
√
µ
i
обозначает любое (из двух возможных) решение уравнения
x
2
= µ
i
в поле P.
В новом базисе данные формы будут иметь матрицу вида
A
0
= diag(1, ... , 1, 0, ... , 0), (36.25)
где количество единиц на диагонали равно r. ¤
Непосредственным следствием предложения 36.1 является следу-
ющий критерий конгруэнтности для симметрических матриц над ал-
гебраически замкнутым полем.
Предложение 36.2. Две симметрические квадратные матрицы
с элементами из алгебраически замкнутого поля P (char(P ) 6= 2)
конгруэнтны тогда и только тогда, когда их ранги одинаковы. ¤
§
§
§ 37. Диагонализация по Якоби
симметрических билинейных
(квадратичных) форм.
Метод Грама — Шмидта
37.1. Метод Якоби диагонализации с.б.ф. (кв.ф.). Второй
основной метод диагонализации симметрических билинейных (квад-
ратичных) форм, к изучению которого мы приступаем, обладает ря-
дом важных преимуществ:
— диагональные элементы µ
i
(i = 1, ... , n) искомой матрицы D
вычисляются по данной (симметрической) матрице A с помощью
явных формул;
— матрица перехода T (от данного базиса к диагонализирующему)
имеет специальный (унитреугольный, т. е. треугольный с единичной
диагональю) вид.
Как чаще всего бывает, за преимущества приходится платить —
потерей универсальности: метод Якоби применим не всегда. Пере-
ходим к подробному изложению.
§ 37   Диагонализация по Якоби. Метод Грама — Шмидта         465

чтобы матрица (36.23) стала скелетной. Для этого нужно взять:
                    
                     √1 , при i = 1, ... , r;
               τi =      µi                               (36.24)
                    
                          1, при i = r + 1, ... , n,
    √
где µi обозначает любое (из двух возможных) решение уравнения
x2 = µi в поле P.
   В новом базисе данные формы будут иметь матрицу вида

                    A0 = diag(1, ... , 1, 0, ... , 0),    (36.25)

где количество единиц на диагонали равно r. ¤
   Непосредственным следствием предложения 36.1 является следу-
ющий критерий конгруэнтности для симметрических матриц над ал-
гебраически замкнутым полем.

   Предложение 36.2. Две симметрические квадратные матрицы
с элементами из алгебраически замкнутого поля P (char(P ) 6= 2)
конгруэнтны тогда и только тогда, когда их ранги одинаковы. ¤



            § 37. Диагонализация по Якоби
             симметрических билинейных
                (квадратичных) форм.
               Метод Грама — Шмидта
  37.1. Метод Якоби диагонализации с.б.ф. (кв.ф.). Второй
основной метод диагонализации симметрических билинейных (квад-
ратичных) форм, к изучению которого мы приступаем, обладает ря-
дом важных преимуществ:
  — диагональные элементы µi (i = 1, ... , n) искомой матрицы D
вычисляются по данной (симметрической) матрице A с помощью
явных формул;
  — матрица перехода T (от данного базиса к диагонализирующему)
имеет специальный (унитреугольный, т. е. треугольный с единичной
диагональю) вид.
  Как чаще всего бывает, за преимущества приходится платить —
потерей универсальности: метод Якоби применим не всегда. Пере-
ходим к подробному изложению.

Страницы