Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 463 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 36 Диагонализация квадратичных форм по Лагранжу 463
П р о в е р к а:
T
t
· A · T = D.
После отыскания диагонализирующего базиса D (который свя-
зан с исходным базисом B вычисленной выше матрицей перехода T )
может понадобиться записать в координатах диагональный вид не
только для кв.ф. [см. (35.13b)]:
h(x) = z
t
Dz = z
2
1
+ 4z
2
2
− 4z
2
3
,
где z — координатный столбец, отвечающий вектору x в базисе D,
но и для (полярной h) с.б.ф. [см. (35.13a)]:
f(x, y) = z
t
Dw = z
1
w
1
+ 4z
2
w
2
− 4z
3
w
3
,
где w — координатный столбец, отвечающий в базисе D вектору y.
Более серьезные примеры будут рассмотрены в § 39, при поста-
новке задач и решении демонстрационного варианта типового рас-
чета ТР3.
Замечание 36.2. Диагональный вид для симметрической били-
нейной формы f (квадратичной формы h) определен отнюдь не од-
нозначно. Уже имея диагонализирующий базис D и диагональную
матрицу D [см. (35.12)], отвечающую в этом базисе формам f и h),
мы можем, например, применить замену с диагональной (и, следо-
вательно, симметрической: T
t
= T ) матрицей перехода
T =
τ
1
τ
2
.
.
.
τ
n
; τ
i
∈ P ; τ
i
6= 0 (i = 1, ... , n) (36.22)
и получить новый диагонализирующий базис D
0
, в котором рассмат-
риваемым формам соответствует новая диагональная матрица:
D
0
= T
t
DT =
µ
1
τ
2
1
µ
2
τ
2
2
.
.
.
µ
r
τ
2
r
0
.
.
.
0
, (36.23)
где, напомним, r = rank(f) = rank(h).
§ 36     Диагонализация квадратичных форм по Лагранжу                                    463

   П р о в е р к а:
                                      T t · A · T = D.
  После отыскания диагонализирующего базиса D (который свя-
зан с исходным базисом B вычисленной выше матрицей перехода T )
может понадобиться записать в координатах диагональный вид не
только для кв.ф. [см. (35.13b)]:
                         h(x) = z t Dz = z12 + 4z22 − 4z32 ,
где z — координатный столбец, отвечающий вектору x в базисе D,
но и для (полярной h) с.б.ф. [см. (35.13a)]:
                   f (x, y) = z t Dw = z1 w1 + 4z2 w2 − 4z3 w3 ,
где w — координатный столбец, отвечающий в базисе D вектору y.
   Более серьезные примеры будут рассмотрены в § 39, при поста-
новке задач и решении демонстрационного варианта типового рас-
чета ТР3.
  Замечание 36.2. Диагональный вид для симметрической били-
нейной формы f (квадратичной формы h) определен отнюдь не од-
нозначно. Уже имея диагонализирующий базис D и диагональную
матрицу D [см. (35.12)], отвечающую в этом базисе формам f и h),
мы можем, например, применить замену с диагональной (и, следо-
вательно, симметрической: T t = T ) матрицей перехода
                                     
              τ1
                   τ2                
       T =
                        ..            ; τi ∈ P ; τi 6= 0 (i = 1, ... , n)
                                                                                      (36.22)
                              .
                      τn
и получить новый диагонализирующий базис D0 , в котором рассмат-
риваемым формам соответствует новая диагональная матрица:
                                                                                 
                             µ1 τ12
                                     µ2 τ22                                      
                                                                                 
                                              ..                                 
                                                   .                             
        0   t                                                                    
       D = T DT =                                      µr τr2                    ,   (36.23)
                                                                                 
                                                                0                
                                                                    ..           
                                                                         .       
                                                                              0
где, напомним, r = rank(f ) = rank(h).

Страницы