Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 461 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 36 Диагонализация квадратичных форм по Лагранжу 461
Матрицей перехода, соответствующей (36.19), будет
Q
6
=
1 −1 0 . . . 0
1 1 0 . . . 0
0 0
··· ··· E
n−2
0 0
; (36.20)
она обратима, поскольку det(Q
6
) = 2 6= 0 в силу предположения
о характеристике поля. (Для доказательства это не нужно, но из
любопытства попробуйте представить матрицу Q
6
как произведение
элементарных матриц типов I — III.)
В новых переменных кв.ф. (36.18) предстанет в виде:
h(x) = 2a
12
(y
2
1
− y
2
2
)+
+2
¡
a
13
(y
1
− y
2
)y
3
+ ... + a
1n
(y
1
− y
2
)y
n
+
+ a
23
(y
1
+ y
2
)y
3
+ ... + a
2n
(y
1
+ y
2
)y
n
¢
+
+
e
h(y
3
, ... , y
n
).
(36.21)
В формуле (36.21) лишь в первой строке присутствует y
2
1
, при-
чем — с коэффициентом 2a
12
6= 0, что позволяет перейти к эта-
пу 2.1.2 и применить первый прием Лагранжа.
3. Цикл этапа 2 повторяется не более n−1 раз. Останов наступает
— либо если, после очередного прохождения цикла, "остаточная"
кв.ф. окажется нулевой,
— либо по достижении юго-восточного угла.
Работа алгоритма завершена; квадратичная форма приведена к
диагональному виду; теорема доказана. ¤
Замечание 36.1 (для служебного пользования). Наше (алгорит-
мическое) доказательство теоремы Лагранжа является значительно
более подробным, по сравнению с изложением этого вопроса в стан-
дартных учебниках (см., например, [1]). Однако и оно не является
"настоящим" представлением алгоритма, соответствующим канонам
компьютерных дисциплин. Некоторым приближением к "канониче-
скому" описанию может служить комментированный текст Maple-
процедуры Lagr (см. прил. 1).
§ 36   Диагонализация квадратичных форм по Лагранжу                       461

   Матрицей перехода, соответствующей (36.19), будет
                                                   
                          1 −1        0    ...    0
                         1 1         0    ...    0
                                                   
                                                   
                    Q6 = 0 0                       ;                  (36.20)
                                                   
                        ··· ···          En−2      
                          0 0

она обратима, поскольку det(Q6 ) = 2 6= 0 в силу предположения
о характеристике поля. (Для доказательства это не нужно, но из
любопытства попробуйте представить матрицу Q6 как произведение
элементарных матриц типов I — III.)
   В новых переменных кв.ф. (36.18) предстанет в виде:

  h(x) = 2a12 (y12 − y22 )+
         ¡
      +2 a13 (y1 − y2 )y3 + ... + a1n (y1 − y2 )yn +
                                                   ¢                    (36.21)
        + a23 (y1 + y2 )y3 + ... + a2n (y1 + y2 )yn +
                                                  +e
                                                   h(y3 , ... , yn ).

  В формуле (36.21) лишь в первой строке присутствует y12 , при-
чем — с коэффициентом 2a12 6= 0, что позволяет перейти к эта-
пу 2.1.2 и применить первый прием Лагранжа.
   3. Цикл этапа 2 повторяется не более n−1 раз. Останов наступает
   — либо если, после очередного прохождения цикла, "остаточная"
кв.ф. окажется нулевой,
   — либо по достижении юго-восточного угла.
  Работа алгоритма завершена; квадратичная форма приведена к
диагональному виду; теорема доказана. ¤
  Замечание 36.1 (для служебного пользования). Наше (алгорит-
мическое) доказательство теоремы Лагранжа является значительно
более подробным, по сравнению с изложением этого вопроса в стан-
дартных учебниках (см., например, [1]). Однако и оно не является
"настоящим" представлением алгоритма, соответствующим канонам
компьютерных дисциплин. Некоторым приближением к "канониче-
скому" описанию может служить комментированный текст Maple-
процедуры Lagr (см. прил. 1).

Страницы