Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 460 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

460 Линейные, билинейные и квадратичные формы Гл. 4
п. 2.2.1; напомним, что каждая операция над столбцами дублируется
в точности таким же действием над строками).
Если первым найденным ненулевым окажется элемент a
2j
из вто-
рой строки, то в качестве матрицы перестановочного перехода мож-
но взять Q
4
= T
1,2
T
2,j
, что соответствует циклической замене пере-
менных
x
1
= y
j
; x
2
= y
1
; x
j
= y
2
; x
k
= y
k
(k 6= 1, 2, j). (36.15)
Во всех остальных случаях в перестановке будут участвовать че-
тыре столбца: два первых и столбцы с номерами i, j, где (i, j) — по-
зиция первого обнаруженного ненулевого элемента (3 6 i < j 6 n).
Матрицей перехода будет Q
5
= T
1,i
T
2,j
; замена переменных запи-
шется в виде:
x
1
= y
i
; x
2
= y
j
; x
i
= y
1
; x
j
= y
2
; x
k
= y
k
(k 6= 1, 2, i, j). (36.16)
Предположим, что описанные в данном пункте предварительные
перестановки уже произведены, т. е. будем считать, что в формуле
(36.1) изначально коэффициент a
12
6= 0.
В такой ситуации может быть реализован так называемый
2.2.2. В т о р о й п р и е м Л а г р а н ж а
В "бесквадратной" квадратичной форме
h(x) = 2
X
16i<j6n
a
ij
x
i
x
j
(36.17)
выделим члены, содержащие x
1
или x
2
:
h(x) = 2
¡
a
12
x
1
x
2
+ a
13
x
1
x
3
+ ... + a
1n
x
1
x
n
+
+ a
23
x
2
x
3
+ ... + a
2n
x
2
x
n
¢
+
e
h(x
3
, ... , x
n
),
(36.18)
где
e
h(x
3
, ... , x
n
) — кв.ф. от указанных n − 2 переменных.
Произведем в (36.18) замену (преобразующую произведение пер-
вых двух переменных в разность квадратов):
x
1
= y
1
− y
2
; x
2
= y
1
+ y
2
; x
k
= y
k
(k = 3, ... , n). (36.19)
460      Линейные, билинейные и квадратичные формы                      Гл. 4

п. 2.2.1; напомним, что каждая операция над столбцами дублируется
в точности таким же действием над строками).
   Если первым найденным ненулевым окажется элемент a2j из вто-
рой строки, то в качестве матрицы перестановочного перехода мож-
но взять Q4 = T1,2 T2,j , что соответствует циклической замене пере-
менных

       x1 = yj ; x2 = y1 ; xj = y2 ; xk = yk (k 6= 1, 2, j).           (36.15)

  Во всех остальных случаях в перестановке будут участвовать че-
тыре столбца: два первых и столбцы с номерами i, j, где (i, j) — по-
зиция первого обнаруженного ненулевого элемента (3 6 i < j 6 n).
Матрицей перехода будет Q5 = T1,i T2,j ; замена переменных запи-
шется в виде:

  x1 = yi ; x2 = yj ; xi = y1 ; xj = y2 ; xk = yk (k 6= 1, 2, i, j). (36.16)

   Предположим, что описанные в данном пункте предварительные
перестановки уже произведены, т. е. будем считать, что в формуле
(36.1) изначально коэффициент a12 6= 0.
   В такой ситуации может быть реализован так называемый
  2.2.2. В т о р о й п р и е м Л а г р а н ж а
  В "бесквадратной" квадратичной форме
                                     X
                          h(x) = 2          aij xi xj                  (36.17)
                                  16i

Страницы