Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 459 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 36 Диагонализация квадратичных форм по Лагранжу 459
(Вас не должно смущать то, что в левой части (36.13) фигурирует
вектор x ∈ V, а в правой части — переменные y
1
, y
2
, ... , y
n
: они, как
и старые переменные x
1
, x
2
, ... , x
n
, являются координатами для того
же вектора x, но — в другом базисе.)
Матрица A
0
, отвечающая представлению (36.13), имеет блочно-
диагональный вид:
A
0
=
µ
1
0 . . . 0
0
···
e
A
0
. (36.14)
Поскольку матрица, конгруэнтная симметрической, сама симмет-
рична (см. замечание 34.3), то симметричным будет и юго-восточный
блок
e
A.
Формулы (36.13) и (36.14) свидетельствуют о том, что (в первом
случае) реализован первый шаг к достижению диагонального вида.
Теперь о первой переменной можно практически "забыть" и, воз-
вратившись к этапу 2, работать с "остаточной" кв.ф.
e
h(y
2
, ... , y
n
) и
ее матрицей
e
A. (Но все-таки забыть не совсем: заменяя новые пере-
менные y
2
, ... , y
n
на "еще более новые" z
2
, ... , z
n
, мы должны как бы
"перерегистрировать" первую переменную: y
1
= z
1
.)
2.2. Во втором случае кв.ф. не готова к применению первого
приема Лагранжа, т. к. не содержит ни одного квадрата. Прихо-
дится их искусственным образом получать. Идея соответствующей
замены должна быть вам знакома, например, из аналитической гео-
метрии: произведение переменных xy с помощью введения новых
переменных u и v, которые связаны со старыми формулами пере-
хода x = u − v и y = u + v, преобразуется в разность квадратов:
xy = u
2
− v
2
.
Как и в первом случае, здесь могут представиться две возможно-
сти.
2.2.1. Если отличен от нуля "ближайший к северо-западному уг-
лу" элемент a
12
, то можно сразу переходить к этапу 2.2.2. Если
же a
12
= 0, то требуется перенумерация (переименование) перемен-
ных. Будем перебирать построчно элементы A, расположенные вы-
ше главной диагонали, пока не обнаружим ненулевой.
Если он будет обнаружен в первой строке, в позиции (1, j), где
j = 3, ... , n, то достаточно одной перестановки столбцов, производи-
мой правым умножением на матрицу Q
3
= T
2,j
(ср. с действиями в
§ 36    Диагонализация квадратичных форм по Лагранжу                         459

   (Вас не должно смущать то, что в левой части (36.13) фигурирует
вектор x ∈ V, а в правой части — переменные y1 , y2 , ... , yn : они, как
и старые переменные x1 , x2 , ... , xn , являются координатами для того
же вектора x, но — в другом базисе.)
   Матрица A0 , отвечающая представлению (36.13), имеет блочно-
диагональный вид:
                                              
                                µ1 0 . . . 0
                                              
                        0  0                  
                      A =                     .                 (36.14)
                          ···             Ae  
                                 0

   Поскольку матрица, конгруэнтная симметрической, сама симмет-
рична (см. замечание 34.3), то симметричным будет и юго-восточный
      e
блок A.
   Формулы (36.13) и (36.14) свидетельствуют о том, что (в первом
случае) реализован первый шаг к достижению диагонального вида.
Теперь о первой переменной можно практически "забыть" и, воз-
вратившись к этапу 2, работать с "остаточной" кв.ф. e          h(y2 , ... , yn ) и
ее матрицей A.  e (Но все-таки забыть не совсем: заменяя новые пере-
менные y2 , ... , yn на "еще более новые" z2 , ... , zn , мы должны как бы
"перерегистрировать" первую переменную: y1 = z1 .)
   2.2. Во втором случае кв.ф. не готова к применению первого
приема Лагранжа, т. к. не содержит ни одного квадрата. Прихо-
дится их искусственным образом получать. Идея соответствующей
замены должна быть вам знакома, например, из аналитической гео-
метрии: произведение переменных xy с помощью введения новых
переменных u и v, которые связаны со старыми формулами пере-
хода x = u − v и y = u + v, преобразуется в разность квадратов:
xy = u2 − v 2 .
   Как и в первом случае, здесь могут представиться две возможно-
сти.
   2.2.1. Если отличен от нуля "ближайший к северо-западному уг-
лу" элемент a12 , то можно сразу переходить к этапу 2.2.2. Если
же a12 = 0, то требуется перенумерация (переименование) перемен-
ных. Будем перебирать построчно элементы A, расположенные вы-
ше главной диагонали, пока не обнаружим ненулевой.
   Если он будет обнаружен в первой строке, в позиции (1, j), где
j = 3, ... , n, то достаточно одной перестановки столбцов, производи-
мой правым умножением на матрицу Q3 = T2,j (ср. с действиями в

Страницы