Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 457 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 36 Диагонализация квадратичных форм по Лагранжу 457
Предположим, что предварительная перестановка (если она пона-
добилась) уже произведена, т. е. будем далее считать, что изначаль-
но в формуле (36.1) коэффициент a
11
6= 0. В такой ситуации может
быть реализован так называемый
2.1.2. П е р в ы й п р и е м Л а г р а н ж а
В формуле (36.1) выделим в отдельную группу все слагаемые, со-
держащие x
1
, и вынесем из этой группы за скобку множитель a
11
;
остальные слагаемые будут представлять квадратичную форму h
1
от переменных x
2
, ..., x
n
(ее, если угодно, можно считать определен-
ной на подпространстве размерности n − 1, которое задается в V
линейным уравнением x
1
= 0):
h(x) = h(x
1
, x
2
, ... , x
n
) =
= a
11
µ
x
2
1
+ 2x
1
·
a
12
a
11
x
2
+ ... + 2x
1
·
a
1n
a
11
x
n
+ h
1
(x
2
, ... , x
n
). (36.6)
Теперь применим к выражению в большой скобке формулу выде-
ления полного квадрата, приведенную выше, в замечании 36.1 [чле-
ны, не содержащие x
1
, подробно не расписываем; это будет квадра-
тичная форма h
2
(x
2
, ... , x
n
), на следующем шаге она присоединяется
к форме h
1
(x
2
, ... , x
n
)]:
h(x) =
= a
11
µ
(x
1
+
a
12
a
11
x
2
+ ... +
a
1n
a
11
x
n
)
2
+ h
2
(x
2
, ... , x
n
)
+h
1
(x
2
, ... , x
n
) =
= a
11
(x
1
+
a
12
a
11
x
2
+ ... +
a
1n
a
11
x
n
)
2
+
e
h(x
2
, ... , x
n
), (36.7)
где
e
h = a
11
h
2
+ h
1
.
Произведем замену переменных по формулам
y
1
= x
1
+
a
12
a
11
x
2
+
a
13
a
11
x
3
+ . . . +
a
1n
a
11
x
n
;
y
2
= x
2
;
y
3
= x
3
;
···
.
.
.
y
n
= x
n
.
(36.8)
§ 36     Диагонализация квадратичных форм по Лагранжу                          457

   Предположим, что предварительная перестановка (если она пона-
добилась) уже произведена, т. е. будем далее считать, что изначаль-
но в формуле (36.1) коэффициент a11 6= 0. В такой ситуации может
быть реализован так называемый
   2.1.2. П е р в ы й п р и е м Л а г р а н ж а
   В формуле (36.1) выделим в отдельную группу все слагаемые, со-
держащие x1 , и вынесем из этой группы за скобку множитель a11 ;
остальные слагаемые будут представлять квадратичную форму h1
от переменных x2 , ..., xn (ее, если угодно, можно считать определен-
ной на подпространстве размерности n − 1, которое задается в V
линейным уравнением x1 = 0):

  h(x) = h(x1 , x2 , ... , xn ) =
       µ                                            ¶
                       a  12                  a1n
  = a11 x21 + 2x1 ·          x2 + ... + 2x1 ·     xn + h1 (x2 , ... , xn ).   (36.6)
                       a11                    a11

  Теперь применим к выражению в большой скобке формулу выде-
ления полного квадрата, приведенную выше, в замечании 36.1 [чле-
ны, не содержащие x1 , подробно не расписываем; это будет квадра-
тичная форма h2 (x2 , ... , xn ), на следующем шаге она присоединяется
к форме h1 (x2 , ... , xn )]:

 h(x) =
     µ                                                     ¶
            a12            a1n
= a11 (x1 +     x2 + ... +      xn )2 + h2 (x2 , ... , xn ) +h1 (x2 , ... , xn ) =
            a11            a11
                         a12            a1n
            = a11 (x1 +      x2 + ... +      xn )2 + e  h(x2 , ... , xn ), (36.7)
                         a11            a11

где e
    h = a11 h2 + h1 .
   Произведем замену переменных по формулам

                         a12           a13                   a1n
       
        y1 =   x1    +       x2    +       x3   + ... +          xn ;
       
                         a11           a11                   a11
       
       
       
       
       
        y2 =                 x2                                      ;
                                                                              (36.8)
       
        y3 =                               x3                        ;
       
       
       
                                                    ..
       
        ···                                              .
       
       
         yn =                                                      xn .

Страницы