Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 455 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 36 Диагонализация квадратичных форм по Лагранжу 455
c
2
1
+ 2(c
1
c
2
+ c
1
c
3
+ ... + c
1
c
n
) = (c
1
+ c
2
+ c
3
+ ... + c
n
)
2
−
−
¡
c
2
2
+ c
2
3
+ ... + c
2
n
+ 2(c
2
c
3
+ ... + c
2
c
n
+ c
3
c
4
+ ... + c
n−1
c
n
)
¢
.
Обратите внимание на то, что выражение, фигурирующее во вто-
рой строке этой выкладки, не содержит c
1
.
Теорема 36.1 (теорема Лагранжа). Над полем P характеристи-
ки, отличной от двух, для любой с.б.ф. f ∈ L
2
s
(V ) [для любой кв.ф.
h ∈ K(V )] существует диагонализирующий базис, в котором форме f
(форме h) отвечает матрица D = diag(µ
1
, ... , µ
r
, 0, ... , 0), где µ
i
∈ P
[ µ
i
6= 0; i = 1, ... r; r = rank(f) = rank(h) ].
Доказательство представим в виде описания работы алгоритма,
причем исходным объектом мы будем считать квадратичную форму
в координатной записи [см. формулу (35.10)]:
h(x) = x
t
A x =
n
X
i=1
a
ii
x
2
i
+ 2
X
16i<j6n
a
ij
x
i
x
j
, (36.1)
т. е. фактически задача арифметизируется посредством фиксации
некоторого исходного базиса.
Будем искать замену переменных
x = T u, (36.2)
такую, что в новых координатах (u
1
, u
2
, ... , u
n
) форма (36.1) записы-
вается в виде
h(x) = u
t
D u =
r
X
i=1
µ
i
u
2
i
, (36.3)
где r = rank(h).
Важная техническая деталь: замену координат придется произво-
дить многократно, так что "штрихов не напасешься"; поэтому новые
координаты (в новом базисе) мы будем обозначать не штрихованием
старых координат, а новыми буквами. В частности, вектор-стол-
бец u, фигурирующий в (36.3), относится к тому же абстрактному
вектору x ∈ V , к которому относился вектор-столбец x (но в другом
базисе).
§ 36    Диагонализация квадратичных форм по Лагранжу                          455




  c21 + 2(c1 c2 + c1 c3 + ... + c1 cn ) = (c1 + c2 + c3 + ... + cn )2 −
        ¡                                                                      ¢
      − c22 + c23 + ... + c2n + 2(c2 c3 + ... + c2 cn + c3 c4 + ... + cn−1 cn ) .


  Обратите внимание на то, что выражение, фигурирующее во вто-
рой строке этой выкладки, не содержит c1 .

    Теорема 36.1 (теорема Лагранжа). Над полем P характеристи-
ки, отличной от двух, для любой с.б.ф. f ∈ L2s (V ) [для любой кв.ф.
h ∈ K(V )] существует диагонализирующий базис, в котором форме f
(форме h) отвечает матрица D = diag(µ1 , ... , µr , 0, ... , 0), где µi ∈ P
[ µi 6= 0; i = 1, ... r; r = rank(f ) = rank(h) ].

   Доказательство представим в виде описания работы алгоритма,
причем исходным объектом мы будем считать квадратичную форму
в координатной записи [см. формулу (35.10)]:
                                  n
                                  X                   X
                          t
               h(x) = x A x =           aii x2i + 2        aij xi xj ,      (36.1)
                                  i=1            16i

Страницы