Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 454 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

454 Линейные, билинейные и квадратичные формы Гл. 4
полем, характеристика которого отлична от двух, причем будет дано
алгоритмическое доказательство.
До сих пор мы изучили не так много "великих" алгоритмов:
— алгоритм Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду
(и его модификацию — алгоритм Жордана — Гаусса);
— алгоритм Евклида отыскания НОД в кольце целых чисел и
в кольце многочленов;
— алгоритм Жордана приведения квадратной матрицы к жорда-
новой нормальной форме;
— алгоритм Смита приведения к канонической диагональной фор-
ме полиномиальных матриц (и его применение к задаче о приведении
квадратной матрицы к ж.н.ф.).
Теперь к этому перечню будет добавлен еще один знаменитый ал-
горитм, изобретенный выдающимся французским математиком Жо-
зефом Луи Лагранжем (1736 — 1813), добившимся результатов пер-
востепенной важности, наверное, во всех разделах математики, а
также в аналитической механике. По своей идее этот алгоритм очень
прост: он сводится к многократному выделению полного квадрата в
однородном многочлене второй степени (от нескольких переменных).
Замечание 36.1. В классической средней общеобразовательной
школе навык выделения полного квадрата (в простейшем случае
квадратного трехчлена от одной переменной) считался важнейшим
и первоочередным для освоения. Сколько красивейших задач ре-
шалось этим элементарным приемом (без привлечения позднее вве-
денных в программу — на весьма убогом уровне — производных)!
К сожалению, и здесь современная ситуация оставляет желать луч-
шего. Поэтому и в курсе математического анализа, и в алгебре при-
ходится предварять решение задач университетского уровня упраж-
нениями из школьно-ученического минимума. (В пособии [A
1
] мы
встречались с различными версиями процедуры выделения полного
квадрата, например, в пп. 43.4 и 50.3.)
В данном парграфе будет применяться формула для квадрата
суммы нескольких слагаемых:
(c
1
+ c
2
+ ... + c
n
)
2
= c
2
1
+ c
2
2
+ c
2
3
+ ... + c
2
n
+
+ 2(c
1
c
2
+ c
1
c
3
+ ... + c
1
c
n
+ c
2
c
3
+ .... + c
2
c
n
+ c
3
c
4
+ ... + c
n−1
c
n
),
а под дополнением до полного квадрата будет подразумеваться сле-
дующая выкладка:
454      Линейные, билинейные и квадратичные формы                          Гл. 4

полем, характеристика которого отлична от двух, причем будет дано
алгоритмическое доказательство.
   До сих пор мы изучили не так много "великих" алгоритмов:
   — алгоритм Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду
(и его модификацию — алгоритм Жордана — Гаусса);
   — алгоритм Евклида отыскания НОД в кольце целых чисел и
в кольце многочленов;
   — алгоритм Жордана приведения квадратной матрицы к жорда-
новой нормальной форме;
   — алгоритм Смита приведения к канонической диагональной фор-
ме полиномиальных матриц (и его применение к задаче о приведении
квадратной матрицы к ж.н.ф.).
   Теперь к этому перечню будет добавлен еще один знаменитый ал-
горитм, изобретенный выдающимся французским математиком Жо-
зефом Луи Лагранжем (1736 — 1813), добившимся результатов пер-
востепенной важности, наверное, во всех разделах математики, а
также в аналитической механике. По своей идее этот алгоритм очень
прост: он сводится к многократному выделению полного квадрата в
однородном многочлене второй степени (от нескольких переменных).

   Замечание 36.1. В классической средней общеобразовательной
школе навык выделения полного квадрата (в простейшем случае
квадратного трехчлена от одной переменной) считался важнейшим
и первоочередным для освоения. Сколько красивейших задач ре-
шалось этим элементарным приемом (без привлечения позднее вве-
денных в программу — на весьма убогом уровне — производных)!
К сожалению, и здесь современная ситуация оставляет желать луч-
шего. Поэтому и в курсе математического анализа, и в алгебре при-
ходится предварять решение задач университетского уровня упраж-
нениями из школьно-ученического минимума. (В пособии [A1 ] мы
встречались с различными версиями процедуры выделения полного
квадрата, например, в пп. 43.4 и 50.3.)
  В данном парграфе будет применяться формула для квадрата
суммы нескольких слагаемых:

  (c1 + c2 + ... + cn )2 = c21 + c22 + c23 + ... + c2n +
+ 2(c1 c2 + c1 c3 + ... + c1 cn + c2 c3 + .... + c2 cn + c3 c4 + ... + cn−1 cn ),

а под дополнением до полного квадрата будет подразумеваться сле-
дующая выкладка:

Страницы