Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 452 стр.

452    Линейные, билинейные и квадратичные формы            Гл. 4

соответственно, развернутая запись вида (35.10) для кв.ф. h содер-
жит лишь слагаемые с квадратами координат:
                                  r
                                  X
                         h(x) =         µi x2i .          (35.13b)
                                  i=1

   Задача диагонализации для с.б.ф. (кв.ф.) формулируется как ис-
следование вопроса о существовании диагонализирующего базиса, с
последующим его отысканием (если он существует). В плане поста-
новки эта задача вполне аналогична рассмотренной в § 21 задаче о
диагонализации линейных эндоморфизмов. Напомним, что для л.э.
диагонализирующий базис существует далеко не всегда (критерий
см. в п. 21.3).
   Напротив, в следующем параграфе будет показано, что для с.б.ф.
(кв.ф.) задача диагонализации разрешима всегда (если ограничиться
формами над полями характеристики, отличной от двух).
   Здесь же мы переведем исследуемую задачу на матричный язык.
   Пусть с.б.ф. f (кв.ф. h) имеют в базисе B некоторую (по обязан-
ности — симметрическую) матрицу A. Требуется найти новый ба-
зис B 0 , в котором нашим формам соответствовала бы диагональная
матрица (35.11). Переход от старого базиса к новому описывает-
ся матрицей перехода T (см. п. 7.1); именно эта матрица является
искомой: вычислив ее, мы фактически определяем B 0 .
   Далее, должна быть предъявлена диагональная матрица D (от-
вечающая f и h в базисе B0 ). Согласно правилу пересчета матрицы
билинейной формы при замене базиса [см. формулы (34.20)], должно
иметь место соотношение:

                           D = T t A T.                    (35.14)

   Другими словами, для симметрической матрицы надо найти кон-
груэнтную ей диагональную матрицу.
   (Снова возвращаясь — для сравнения — к задаче о диагонализа-
ции л.э., напомним, что в ней фигурировало другое отношение эк-
вивалентности: не конгруэнтность, а подобие; подробнее см. об этом
выше, в п. 34.3.)
   Замечание 35.4. Отношение конгруэнтности квадратных матриц,
как и отношение эквивалентности (прямоугольных) матриц (см. п.
13.3), связано с элементарными преобразованиями над строками и
столбцами.