Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 451 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 35 Квадратичные формы. Формула поляризации 451
(т. е. как квадратичная форма в смысле теории многочленов; см.
[A
1
, п. 48.4]).
Замечание 35.3. Между прочим, в характеристике два удвоенных
произведений "не бывает" (2 = 0) и поэтому в (35.10) присутствуют
лишь члены с квадратами.
35.3. Диагонализирующие базисы для симметрических
билинейных (квадратичных) форм. Пусть V — n-мерное про-
странство над полем P.
Определение 35.2. Базис B = [b
1
, ... , b
n
] в пространстве V на-
зывается диагонализирующим для (соответствующих друг другу)
с.б.ф. f ∈ L
2
s
(V ) и кв.ф. h ∈ K(V ), если в этом базисе им соот-
ветствует диагональная матрица, т. е. если
a
ij
= f(b
i
, b
j
) = 0 (35.11)
при i 6= j.
Сразу заметим, что поскольку матрица с.б.ф. (кв.ф.) в любом ба-
исе имеет один и тот же ранг, а ранг диагональной матрицы равен
числу ненулевых элементов на диагонали, то диагонализирующий
базис (если он существует) всегда можно (за счет перстановки ба-
зисных векторов) выбрать так, чтобы диагональная матрица, отве-
чающая названным формам в этом базисе, имела следующий вид:
D =
µ
1
µ
2
.
.
.
µ
r
0
.
.
.
0
, (35.12)
где µ
i
∈ P [ µ
i
6= 0; i = 1, ... r; r = rank(f) = rank(h) ].
В диагонализирующем базисе развернутая запись вида (34.14s)
для с.б.ф. f содержит только диагональные члены:
f(x, y) =
r
X
i=1
µ
i
x
i
y
i
; (35.13a)
§ 35          Квадратичные формы. Формула поляризации                                  451

(т. е. как квадратичная форма в смысле теории многочленов; см.
[A1 , п. 48.4]).
  Замечание 35.3. Между прочим, в характеристике два удвоенных
произведений "не бывает" (2 = 0) и поэтому в (35.10) присутствуют
лишь члены с квадратами.
  35.3. Диагонализирующие базисы для симметрических
билинейных (квадратичных) форм. Пусть V — n-мерное про-
странство над полем P.
   Определение 35.2. Базис B = [b1 , ... , bn ] в пространстве V на-
зывается диагонализирующим для (соответствующих друг другу)
с.б.ф. f ∈ L2s (V ) и кв.ф. h ∈ K(V ), если в этом базисе им соот-
ветствует диагональная матрица, т. е. если

                               aij = f (bi , bj ) = 0                                (35.11)

при i 6= j.
  Сразу заметим, что поскольку матрица с.б.ф. (кв.ф.) в любом ба-
исе имеет один и тот же ранг, а ранг диагональной матрицы равен
числу ненулевых элементов на диагонали, то диагонализирующий
базис (если он существует) всегда можно (за счет перстановки ба-
зисных векторов) выбрать так, чтобы диагональная матрица, отве-
чающая названным формам в этом базисе, имела следующий вид:
                                                                              
                          µ1
                               µ2                                             
                                                                              
                                     ..                                       
                                          .                                   
                                                                              
                  D=                            µr                            ,    (35.12)
                                                                              
                                                         0                    
                                                                 ..           
                                                                      .       
                                                                           0

где µi ∈ P [ µi 6= 0; i = 1, ... r; r = rank(f ) = rank(h) ].
   В диагонализирующем базисе развернутая запись вида (34.14s)
для с.б.ф. f содержит только диагональные члены:
                                               r
                                               X
                           f (x, y) =                µi xi yi ;                     (35.13a)
                                               i=1

Страницы