Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 450 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

450 Линейные, билинейные и квадратичные формы Гл. 4
линейного пространства с.б.ф. на линейное пространство симметри-
ческих квадратных матриц. Сочетая его с рассмотренным в преды-
дущем пункте (и определенным инвариантно, вне зависимости от
базиса) изоморфизмом (35.5) пространства с.б.ф. на пространство
кв.ф., мы приходим к выводу о том, что имеются три попарно изо-
морфных линейных пространства: L
2
s
(V ), K(V ) и L
s
(n, P ); каждое
из них имеет размерность n(n + 1)/2; друг другу соответствуют:
— (при изоморфизме q) с.б.ф. f и кв.ф. h, связанные взаимно
обратными соотношениями
h(x) = f(x, x); f(x, y) =
1
2
(h(x + y) −h(x) −h(y));
— (при изоморфизме m, зависящем от базиса B) с.б.ф. f и (n×n)-
матрица A, связанные взаимно обратными соотношениями
[A]
ij
= a
ij
= f(b
i
, b
j
); f(x, y) = x
t
A y;
— (косвенно, через посредство с.б.ф. f) кв.ф. h и матрица A;
подчеркнем, что квадратичной форме h считается соответствующей
(в заданном базисе) та же самая матрица, которая соответствует
(в этом базисе) симметрической билинейной форме f, полярной h;
такие характеристики с.б.ф. как ранг или (не-)вырожденность также
могут быть отнесены к соответствующей кв.ф.
Координатное представление в базисе B для с.б.ф. f путем про-
стой подстановки y = x приводит к координатному представлению
для кв.ф. h, причем возможны как векторная, так и развернутая
записи:
h(x) = x
t
A x =
n
X
i,j=1
a
ij
x
i
x
j
; (35.9)
последнюю можно перегруппировать [ср. с (34.14s)], выделив слага-
емые, содержащие квадраты координат, и слагаемые, содержащие
удвоенные произведения координат:
h(x) =
n
X
i=1
a
ii
x
2
i
+ 2
X
16i<j6n
a
ij
x
i
x
j
. (35.10)
Развернутые выражения демонстрируют то обстоятельство, что
квадратичная форма (в смысле линейной алгебры) выражается в
координатах как однородный многочлен степени 2 от n переменных
450     Линейные, билинейные и квадратичные формы                     Гл. 4

линейного пространства с.б.ф. на линейное пространство симметри-
ческих квадратных матриц. Сочетая его с рассмотренным в преды-
дущем пункте (и определенным инвариантно, вне зависимости от
базиса) изоморфизмом (35.5) пространства с.б.ф. на пространство
кв.ф., мы приходим к выводу о том, что имеются три попарно изо-
морфных линейных пространства: L2s (V ), K(V ) и Ls (n, P ); каждое
из них имеет размерность n(n + 1)/2; друг другу соответствуют:
   — (при изоморфизме q) с.б.ф. f и кв.ф. h, связанные взаимно
обратными соотношениями

                                       1
        h(x) = f (x, x); f (x, y) =      (h(x + y) − h(x) − h(y));
                                       2
  — (при изоморфизме m, зависящем от базиса B) с.б.ф. f и (n×n)-
матрица A, связанные взаимно обратными соотношениями

               [A]ij = aij = f (bi , bj ); f (x, y) = xt A y;

   — (косвенно, через посредство с.б.ф. f ) кв.ф. h и матрица A;
подчеркнем, что квадратичной форме h считается соответствующей
(в заданном базисе) та же самая матрица, которая соответствует
(в этом базисе) симметрической билинейной форме f , полярной h;
такие характеристики с.б.ф. как ранг или (не-)вырожденность также
могут быть отнесены к соответствующей кв.ф.
   Координатное представление в базисе B для с.б.ф. f путем про-
стой подстановки y = x приводит к координатному представлению
для кв.ф. h, причем возможны как векторная, так и развернутая
записи:
                                   X n
                            t
                   h(x) = x A x =      aij xi xj ;          (35.9)
                                         i,j=1

последнюю можно перегруппировать [ср. с (34.14s)], выделив слага-
емые, содержащие квадраты координат, и слагаемые, содержащие
удвоенные произведения координат:
                          n
                          X                   X
                 h(x) =         aii x2i + 2        aij xi xj .       (35.10)
                          i=1            16i

Страницы