Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 448 стр.

448     Линейные, билинейные и квадратичные формы                         Гл. 4

   Отсюда, в частности, усматривается, что множество квадратич-
ных форм является линейным подпространством в пространстве
всех функций и, следовательно, само является линейным простран-
ством над полем P.
   Любое отображение можно подвергнуть, как говорят, сокраще-
нию, рассматривая его действующим на свой образ; при этом полу-
чится (вообще говоря, другое, но зачастую обозначаемое так же, как
и данное) сюръективное отображение.
   Мы будем рассматривать сокращение линейного гомоморфизма
(35.3) до линейного эпиморфизма

               q : L2s (V ) −→ K(V ); f 7→ h; h(x) = f (x, x).            (35.5)


  Предложение 35.1. Если поле P имеет характеристику, отлич-
ную от двух, то линейный эпиморфизм (35.5) является изоморфиз-
мом, т. е. для любой кв.ф. найдется одна и только одна с.б.ф. такая,
что q(f ) = h.
   Доказательство. Пусть h ∈ K(V ). По определению 35.1, для нее
найдется с.б.ф. f ∈ L2s (V ) такая, что q(f ) = h, т. е. h(x) = f (x, x)
для любого вектора x ∈ V. Докажем, что форма f однозначно вос-
станавливается по форме h.
   Рассмотрим значение h на сумме x + y двух произвольных векто-
ров из V и проведем короткую выкладку, использующую свойства
(1) — (4) из определения 34.1, а также свойство симметричности
f (y, x) = f (x, y):

  h(x + y) =
       = f (x + y, x + y) = f (x, x) + f (x, y) + f (y, x) + f (y, y) =
                                               = h(x) + h(y) + 2f (x, y),

или
                    2f (x, y) = h(x + y) − h(x) − h(y).                   (35.6)
  Поскольку элемент 2 = 1 + 1 ∈ P , по предположению, отличен от
нуля, то существует обратный к нему элемент 1/2 ∈ P , и из соот-
ношения (35.6) можно выразить значения билинейной формы через
значения соответствующей кв.ф.:
                               1¡                      ¢
                  f (x, y) =     h(x + y) − h(x) − h(y) ,                 (35.7)
                               2