Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 447 стр.

§ 35      Квадратичные формы. Формула поляризации                      447

   Упомянем также о бесконечномерном варианте теории, развива-
емом в функциональном анализе. В этой науке изоморфизм типа
(34.39) является "именным" — называется изоморфизмом Риса (в
честь венгерского математика, одного из основателей функциональ-
ного анализа).



           § 35. Симметрические билинейные
                   и квадратичные формы.
                    Формула поляризации
  35.1. Понятие квадратичной формы. Формула поляри-
зации. Начиная с данного параграфа, основным объектом нашего
изучения становятся симметрические билинейные формы на конеч-
номерных линейных пространствах. Практически всегда будет со-
храняться предположение о том, что характеристика основного поля
отлична от двух. Ниже дается определение еще одного класса функ-
ций, который естественно связан с классом с.б.ф.
  Определение 35.1. Пусть V — линейное пространство над по-
лем P . Квадратичной формой (кв.ф.) на пространстве V называется
функция
                         h : V −→ P,                       (35.1)
которая выражается с помощью формулы

                          h(x) = f (x, x); x ∈ V                     (35.2)

через некоторую с.б.ф. f ∈ L2 (V ).
  Говорят, что кв.ф. h соответствует с.б.ф. f . Множество всех
квадратичных форм на пространстве V обозначается K(V ).
   Определению 35.1 можно придать более "культурный" (в матема-
тическом смысле) вид. Рассмотрим линейное пространство F(V )
всех P -значных функций на линейном пространстве V (см. при-
мер 1.2). Определим отображение (которое, очевидно, является ли-
нейным):

 q : L2s (V ) −→ F(V ); f 7→ h; h(x) = f (x, x); f ∈ L2s (V ); x ∈ V. (35.3)

   Множество K(V ) есть не что иное, как образ отображения (35.3):

                              K(V ) = Im(q).                         (35.4)