Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 445 стр.

§ 34             Билинейные формы и их матрицы                        445

   Для невырожденной с.б.ф. мы получаем изоморфизм
                                      ∼
                                      =
                              f ] : V −→ V ∗ ,                      (34.39)

сопоставляющий вектору x ∈ V линейную форму y 7→ f (x, y); y ∈ V.
  Замечание 34.8. Линейный изоморфизм (34.39), возникающий
между данным линейным пространством V и двойственным про-
странством V ∗ в случае задания на V невырожденной с.б.ф., поз-
воляет переосмыслить теорию двойственности (см. §§ 32, 33), пе-
реформулировать ее в рамках исходного пространства, без привле-
чения двойственного.
  В частности, для любого подмножества M ⊆ V его аннулятор M ◦ ,
являющийся линейным подпространством в V ∗ , переводится в V изо-
морфизмом
                                     ∼
                                     =
                          f [ : V ∗ −→ V,                 (34.390 )
обратным к (34.39). Так получается линейное подпространство

                                             (32.21)
  M ⊥ = f [ (M ◦ ) = {y ∈ V : f ] (y) ∈ M ◦ } =====
                                                       (34.35)
          = {y ∈ V : (∀x ∈ M ) [ f ] (y) (x) = 0 ]} =====
                      = {y ∈ V : (∀x ∈ M ) [ f (x, y) = 0 ]} 6 V,   (34.40)

называемое f -ортогональным дополнением подмножества M.
    Здесь терминология находится под мощным влиянием геометрии.
Векторы x, y ∈ V называются f -ортогональными, если f (x, y) = 0;
f -ортогональное дополнение к M состоит из таких векторов, кото-
рые f -ортогональны ко всем векторам из M. "Настоящая" ортого-
нальность получается, если в качестве с.б.ф. f фигурирует скалярное
произведение [см. (34.7) и, ниже, § 40].
    Поскольку линейный изоморфизм сохраняет размерности подпро-
странств, то мы можем заключить, что если M является линейным
подпространством размерности k в n-мерном пространсте V, то под-
пространство M ⊥ (как и аннулятор M ◦ ) имеет размерность n − k;
при этом сохраняет силу свойство инволютиности: (M ⊥ )⊥ = M.
    (Не следует, однако, думать, что подпространства M и M ⊥ вза-
имно дополнительны. Вообще говоря, это не так, а о тех случаях,
когда свойство дополнительности все же имеет место, будет сказано
ниже; см. замечание 38.5.)