Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 443 стр.

§ 34                 Билинейные формы и их матрицы                             443

значениями которых снова служат функции. Так, в левой части
формулы (34.34а) мы имеем значение f (1) (y) линейного оператора
f (1) : V → V ∗ на векторе y ∈ V , но это значение, будучи элемен-
том V ∗ , само является линейной формой, в связи с чем приходится
рассматривать значение этой формы на векторе x ∈ V , которое уже
является скаляром из поля P .)
    Для того, чтобы можно было сравнивать действие линейных го-
моморфизмов (операторов) f (1) , f (2) ∈ L(V, V ∗ ), требуется во второй
формуле переобозначить аргумент для оператора и аргумент для
линейной формы (являющейся значением этого оператора), т. е., ко-
роче говоря, поменять ролями x и y:

                               f (2) (y) (x) = f (y, x).                  (34.34b0 )

   Сопоставление формул (34.34а) и (34.34b0 ) убеждает нас в том,
что операторы (34.33а) и (34.33b), вообще говоря, различны. Сов-
падают же они тогда и только тогда, когда для любых векторов
x, y ∈ V выполняется равенство f (x, y) = f (y, x), являющееся усло-
вием симметричности формы f [см. (34.28s)]. Тем самым доказано

  Предложение 34.6. Гомоморфизмы (34.33а) и (34.33b) совпада-
ют тогда и только тогда, когда б.ф. f является симметрической. ¤
   Замечание 34.6. Различающие верхние индексы (1) и (2) становят-
ся в случае симметрической формы ненужными. Однако какая-то
метка все-таки нужна (чтобы отличить с.б.ф. f ∈ L2s (V ) от соот-
ветствующего линейного гомоморфизма), и мы будем использовать
"музыкальный" знак повышения:

       f ] : V −→ V ∗ ; y 7→ f ] (y); f ] (y) (x) = f (x, y); x, y ∈ V.     (34.35)

    Обратимся теперь к случаю конечномерного пространства V.
    Пусть dim(V ) = n, в V зафиксирован базис B [см. (34.12)], а
двойственное пространство V ∗ снабжено двойственным базисом B∗ ,
который [см. (31.12)] связан с B соотношениями b∗i (bj ) = δij (где
i, j = 1, ... , n).

   Предложение 34.7. Пусть билинейной форме f ∈ L2 (V ) отве-
чает в базисе B матрица A.
   Тогда в базисах B и B∗ линейному оператору f (1) соответству-
ет та же самая матрица A, а оператору f (2) — транспонированная
матрица At .