Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 444 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

444 Линейные, билинейные и квадратичные формы Гл. 4
Доказательство. Обозначим M
(1)
и M
(2)
матрицы, отвечающие
(в рассматриваемых базисах) операторам f
(1)
и f
(2)
соответствен-
но. По общему правилу составления матрицы линейного оператора
[см. (12.7)], элементы первой матрицы находятся по формулам:
m
(1)
ij
= [f
(1)
(b
j
)]
i
; i, j = 1, ... , n. (34.36)
В правой части (34.36) фигурирует i-я координата (в базисе B
∗
)
для линейной формы, указаннной в квадратных скобках, которая
может быть определена по формуле (31.6), после чего срабатыва-
ет (34.34а):
m
(1)
ij
= f
(1)
(b
j
) (b
i
) = f(b
i
, b
j
). (34.37)
Окончательно, применяя определение (34.15) элементов матрицы
б.ф., получаем:
m
(1)
ij
= a
ij
. (34.38)
Равенство M
(1)
= A, т. е. первое утверждение предложения, до-
казано. Приведем (без подробных комментариев) аналогичную вы-
кладку для оператора f
(2)
:
m
(2)
ij
(12.7)
=== [f
(2)
(b
j
)]
i
(31.6)
=== f
(2)
(b
j
) (b
i
)
(34.34b
0
)
===== f(b
j
, b
i
)
(34.15)
=== a
ji
;
и далее: M
(2)
= A
t
. ¤
Замечание 34.7. Из предложения 34.7 вытекает несколько важ-
ных выводов и наблюдений.
1. Б.ф. f и соответствующие линейные гомоморфизмы f
(1)
и f
(2)
имеют одинаковые ранги. Значит, и дефекты операторов f
(1)
и f
(2)
одинаковы, что, однако, не означает совпадения ядер.
Ядра Ker(f
(1)
) и Ker(f
(2)
) называются соответственно правым и
левым ядрами для б.ф. f; они имеют равные размерности, но, во-
обще говоря, различны. (Это связано с возможным несовпадением
нуль-пространств L
0
A
и L
0
A
t
для матрицы A и для транспонированной
матрицы A
t
; конкретный (2 × 2)-пример можете придумать сами.)
Для невырожденной б.ф. f указанные гомоморфизмы являются
(вообще говоря, различными) линейными изоморфизмами простран-
ства V на двойственное пространство V
∗
.
2. В случае с.б.ф. f левое ядро формы равно правому и, по опре-
делению, совпадает с ядром гомоморфизма f
]
; оно состоит из таких
векторов x ∈ V, что f(x, y) = 0 для любого y ∈ V.
444        Линейные, билинейные и квадратичные формы                           Гл. 4

   Доказательство. Обозначим M (1) и M (2) матрицы, отвечающие
(в рассматриваемых базисах) операторам f (1) и f (2) соответствен-
но. По общему правилу составления матрицы линейного оператора
[см. (12.7)], элементы первой матрицы находятся по формулам:
                          (1)
                        mij = [f (1) (bj )]i ; i, j = 1, ... , n.             (34.36)

   В правой части (34.36) фигурирует i-я координата (в базисе B∗ )
для линейной формы, указаннной в квадратных скобках, которая
может быть определена по формуле (31.6), после чего срабатыва-
ет (34.34а):
                    (1)
                   mij = f (1) (bj ) (bi ) = f (bi , bj ). (34.37)
   Окончательно, применяя определение (34.15) элементов матрицы
б.ф., получаем:
                            (1)
                          mij = aij .                     (34.38)

  Равенство M (1) = A, т. е. первое утверждение предложения, до-
казано. Приведем (без подробных комментариев) аналогичную вы-
кладку для оператора f (2) :

        (2) (12.7)              (31.6)              (34.34b0 )      (34.15)
      mij === [f (2) (bj )]i === f (2) (bj ) (bi ) ===== f (bj , bi ) === aji ;

и далее: M (2) = At . ¤
   Замечание 34.7. Из предложения 34.7 вытекает несколько важ-
ных выводов и наблюдений.
   1. Б.ф. f и соответствующие линейные гомоморфизмы f (1) и f (2)
имеют одинаковые ранги. Значит, и дефекты операторов f (1) и f (2)
одинаковы, что, однако, не означает совпадения ядер.
   Ядра Ker(f (1) ) и Ker(f (2) ) называются соответственно правым и
левым ядрами для б.ф. f ; они имеют равные размерности, но, во-
обще говоря, различны. (Это связано с возможным несовпадением
нуль-пространств L0A и L0At для матрицы A и для транспонированной
матрицы At ; конкретный (2 × 2)-пример можете придумать сами.)
   Для невырожденной б.ф. f указанные гомоморфизмы являются
(вообще говоря, различными) линейными изоморфизмами простран-
ства V на двойственное пространство V ∗ .
   2. В случае с.б.ф. f левое ядро формы равно правому и, по опре-
делению, совпадает с ядром гомоморфизма f ] ; оно состоит из таких
векторов x ∈ V, что f (x, y) = 0 для любого y ∈ V.

Страницы