Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 442 стр.

442     Линейные, билинейные и квадратичные формы               Гл. 4

  34.6.∗ Два линейных гомоморфизма линейного простран-
ства в двойственное, связанные с б.ф. Если в билинейной форме
зафиксировать один из аргументов, то по другому аргументу полу-
чится линейная форма, сопоставление которой значению ранее за-
фиксированного аргумента определит линейное отображение из дан-
ного линейного пространства в двойственное. Точнее, справедливо
следующее

  Предложение 34.5. Пусть V — линейное пространство над по-
лем P , f — билинейная форма на V.
  (1) Фиксация значения y для второго аргумента формы f , либо
фиксация значения x для первого аргумента — определяют на V
пару линейных форм:

           fy(1) : V −→ P ; fy(1) (x) = f (x, y); x ∈ V       (34.32a)

и
           fx(2) : V −→ P ; fx(2) (y) = f (x, y); y ∈ V.      (34.32b)
    (2) Отображения

          f (1) : V −→ V ∗ ; y 7→ f (1) (y) = fy(1) ; y ∈ V   (34.33a)

и
         f (2) : V −→ V ∗ ; x 7→ f (2) (x) = fx(2) ; x ∈ V.   (34.33b)
являются линейными гомоморфизмами из данного пространства V
в двойственное пространство V ∗ .
  Доказательство. Как линейность форм (34.32), так и линейность
отображений (34.33) непосредственно следуют из тождеств (1) — (4)
определения 34.1. ¤
  Придадим формулам (24.33) несколько иной вид, расписывая зна-
чения линейных форм на векторах:

                           f (1) (y) (x) = f (x, y);          (34.34a)
                           f (2) (x) (y) = f (x, y),          (34.34b)
где x, y ∈ V .
   (Уже не в первый раз мы сталкиваемся с необходимостью упо-
требления довольно сложных обозначений при изучении функций,