Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 441 стр.

§ 34           Билинейные формы и их матрицы                   441

каждый из которых является сужением изоморфизма (34.18).
   В частности, это дает информацию о рамерностях подпространств
с.б.ф. и а.б.ф.: они равны соответственно n(n + 1)/2 и n(n − 1)/2.
   Кроме того, в указанном примере, при дополнительном ограниче-
нии на основное поле (char(P ) 6= 2), была доказана взаимная допол-
нительность подпространств симметрических и антисимметрических
матриц. Аналогичный результат справедлив и для пространств би-
линейных форм, причем без предположения конечномерности про-
странства V.

   Предложение 34.4. Пусть V — линейное пространство над по-
лем P , характеристика которого отлична от двух. Тогда линейные
подпространства с.б.ф. и а.б.ф. являются взаимно дополнительными
в линейном пространстве всех б.ф., т. е.
                      L2 (V ) = L2s (V ) ⊕ L2a (V ).         (34.30)


    Доказательство. 1. Во-первых, рассматриваемые подпростран-
ства независимы, т. е. их пересечение тривиально. В самом деле,
если форма f является как симметрической, так и антисимметриче-
ской, то для нее справедливо равенство −f = f, или 2 · f = 0, что, в
предположении 2 6= 0, влечет f = 0. (Напомним, что условная запись
2 6= 0 является выражением следующего свойства поля: 1 + 1 6= 0.)
    2. Во-вторых, используя тот факт, что в поле P существует эле-
мент 2−1 , мы можем записать равенство:
                           1         1
                       f = (f + fe) + (f − fe),              (34.31)
                           2         2
где б.ф. fe определена формулой (34.27).
    Легко убедиться в том, что первое слагаемое в (34.31) является
с.б.ф., а второе — а.б.ф. Следовательно, всякая б.ф. представляется
в виде суммы симметрической и антисимметрической форм.
    Наличие прямого разложения (34.30) вытекает теперь из предло-
жения 9.1. ¤
  Замечание 34.5. А что будет, если char(P ) = 2? Ответ совершенно
ясен: элементы поля характеристики два, а также элементы вектор-
ных пространств над таким полем совпадают с противоположными
к ним элементами. Значит, б.ф. (или квадратная матрица) будет
симметрической тогда и только тогда, когда она будет антисимме-
тической. (Два подпространства-слагаемых "сливаются" в одно.)