Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 439 стр.

§ 34            Билинейные формы и их матрицы                     439

большее: отображение f 7→ fe является линейным оператором (л.э.)
в пространстве L2 (V ); подмножество L2s (V ) является собственным
подпространством для этого оператора, отвечающим собственно-
му значению 1, а подмножество L2a (V ) — собственным подпростран-
ством, отвечающим −1.
   В конечномерном пространстве свойство (анти-)симметричности
б.ф. оказывается естественно связанным с аналогичным свойством
матрицы, отвечающей этой форме (в произвольном базисе). Точнее,
справедливо следующее

  Предложение 34.3. Пусть V — конечномерное линейное про-
странство над полем P ; B — какой-либо базис в V . Билинейная
форма f ∈ L2 (V ) является симметрической (антисимметрической)
тогда и только тогда, когда аналогичным свойством обладает мат-
рица A, отвечающая f в базисе B.
    Доказательство проведем только для одного из типов форм, для
другого все совершенно аналогично.
    Условие симметричности (34.28s) влечет равенства aji = aij (где
i, j = 1, ... , n) для элементов матрицы A [см. (34.15)], или, что рав-
носильно, — симметричность этой матрицы: At = A.
    Обратно, пусть матрица A является симметрической, т. е. At = A.
Координатную запись (34.17) для значения f (x, y) данной б.ф. мы
рассмотрим как матричное равенство, считая, что в левой его части
стоит матрица размера 1 × 1. Транспонируем обе части этого равен-
ства (левая часть при этом не изменится). В следующей выкладке, с
использованием свойств операции транспонирования, доказывается
условие (34.28s):
                            ¡     ¢t
        f (x, y) = xt A y = xt A y = y t At x = y t A x = f (y, x). ¤

  Замечание 34.3. Поскольку свойство (анти-)симметричности мат-
рицы для (анти-)симметрической б.ф. имеет место в произвольном
базисе, то косвенным следствием последнего предложения является
такой вывод: матрица, конгруэнтная (анти-)симметрической, сама
является таковой.
  Это утверждение легко доказать и непосредственно:

             [ At = A ] ⇒ [ (T t A T )t = T t At T = T t A T ],

для антисимметричности — аналогично.