Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 437 стр.

§ 34           Билинейные формы и их матрицы                  437

   Определение 34.3. Две квадратные матрицы A, B ∈ L(n, P ) на-
зываются конгруэнтными (и это обозначается A p−yB), если суще-
ствует обратимая матрица T ∈ GL(n, P ) такая, что

                            B = T t AT.                     (34.23)

   Данное выше определение следует сравнить с определением 13.2
подобных квадратных матриц.
   Отношение конгруэнтности p−y, как и отношение подобия ∼
                                                         ◦ ◦, явля-

ется отношением эквивалентности. [Рефлексивность и симметрич-
ность, как обычно, очевидны. Транзитивность доказывается так:
соотношения B = T1t AT1 и C = T2t BT2 , с обратимыми T1 и T2 , вле-
кут C = T3t AT3 , где T3 = T1 T2 ∈ GL(n, P ).]
   И обозначение конгруэнтности является еще одной "самоделкой".
В дальнейшем вашем математическом развитии вы, перелистывая
многочисленные учебники и монографии, научитесь понимать, что
одному и тому же символу (и даже — на одной и той же странице)
иногда могут приписываться различные значения. А пока автор пы-
тается помочь вашей интуиции, изобретая нестандартные символы.
   34.4. Ранг билинейной формы. Невырожденные б.ф. Вся-
кий раз, когда изучение какого-либо математического объекта при-
водит к его описанию с помощью матрицы, возникает идея припи-
сать этому объекту ранг (определяемый по соответствующей матри-
це). Однако чаще всего матрица, сопоставляемая объекту, зависит
не только от него самого, но и от некоторых "случайных факторов"
(типа выбора базисов). Вследствие этого, при определении ранга
требуется обоснование корректности (проверка независимости от
случайных обстоятельств). Вспомните в связи с изложенными выше
общими соображениями тот факт, что ранг линейного отображения
равен рангу соответствующей матрицы (и этот последний не зависит
от выбора базисов).
   Ниже аналогичная идея реализуется применительно к билиней-
ным формам. Конгруэнтные матрицы отличаются обратимыми мат-
ричными множителями (слева и справа) и поэтому (см. п. 13.3) име-
ют одинаковые ранги:

                 [ A p−yB ] ⇒ [ rank(A) = rank(B) ],        (34.24)

что обеспечивает корректность следующего определения.