Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 435 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 34 Билинейные формы и их матрицы 435
В самом деле, диагональные элементы произведения матриц X
t
·Y
вычисляются по формуле:
[X
t
· Y ]
jj
= x
j
t
· y
j
= ( x
1j
x
2j
... x
nj
) ·
y
1j
y
2j
...
y
nj
=
n
X
i=1
x
ij
y
ij
,
а их сумма (след указанной матрицы) — по формуле:
f(X, Y ) = tr(X
t
· Y ) =
n
X
i,j=1
x
ij
y
ij
, (34.10
0
)
т. е. значение f(X, Y ) получается как сумма произведений всех со-
ответствующих элементов матриц X и Y.
Следовательно, в естественном базисе, составленном из матриц
E
ij
(i, j = 1, ... , n), форме (34.10) отвечает единичная матрица по-
рядка n
2
.
Пример 34.7 (продолжение примера 34.4). Убедитесь самосто-
ятельно в том, что если в поле C рассмотреть естественный базис
B = [1, i], то б.ф. (34.11) будет соответствовать единичная матрица
второго порядка, б.ф. (34.11
0
) — диагональная матрица diag(1, −1);
матрицу для б.ф. (34.11
00
) определите сами.
34.3. Изменение матрицы билинейной формы при замене
базиса. Конгруэнтные матрицы. Изучение данного пункта по-
лезно предварить просмотром п. 13.5, где рассматривался вопрос о
пересчете матрицы линейного эндоморфизма, действующего в к.л.п.,
при замене базиса в этом пространстве.
Напомним, что л.э. ϕ ∈ L(V ) в каждом базисе B сопоставляет-
ся квадратная матрица A, которая при замене базиса, с матрицей
перехода T , преобразуется [см. формулу (13.4)] в подобную матри-
цу A
0
= T
−1
AT.
Рассмотрим в n-мерном пространстве V , помимо "старого" базиса
(34.12), "новый" базис
B
0
= [ b
0
1
, b
0
2
, ... , b
0
n
], (34.12
0
)
и пусть матрица T описывает переход от старого базиса к новому, а
обратная матрица S = T
−1
— обратный переход.
Обозначим A и A
0
матрицы, отвечающие б.ф. f ∈ L
2
(V ) в старом
и новом базисах соответственно.
§ 34             Билинейные формы и их матрицы                             435

  В самом деле, диагональные элементы произведения матриц X t ·Y
вычисляются по формуле:
                                                        
                                                    y1j
                                                             n
       t            t                              y2j  X
     [X · Y ]jj = xj · yj = ( x1j x2j ... xnj ) ·       =     xij yij ,
                                                     ...
                                                            i=1
                                                    ynj
а их сумма (след указанной матрицы) — по формуле:
                                                    n
                                                    X
                                      t
                  f (X, Y ) = tr(X · Y ) =                  xij yij ,   (34.100 )
                                                   i,j=1

т. е. значение f (X, Y ) получается как сумма произведений всех со-
ответствующих элементов матриц X и Y.
   Следовательно, в естественном базисе, составленном из матриц
Eij (i, j = 1, ... , n), форме (34.10) отвечает единичная матрица по-
рядка n2 .
  Пример 34.7 (продолжение примера 34.4). Убедитесь самосто-
ятельно в том, что если в поле C рассмотреть естественный базис
B = [1, i], то б.ф. (34.11) будет соответствовать единичная матрица
второго порядка, б.ф. (34.110 ) — диагональная матрица diag(1, −1);
матрицу для б.ф. (34.1100 ) определите сами.

   34.3. Изменение матрицы билинейной формы при замене
базиса. Конгруэнтные матрицы. Изучение данного пункта по-
лезно предварить просмотром п. 13.5, где рассматривался вопрос о
пересчете матрицы линейного эндоморфизма, действующего в к.л.п.,
при замене базиса в этом пространстве.
   Напомним, что л.э. ϕ ∈ L(V ) в каждом базисе B сопоставляет-
ся квадратная матрица A, которая при замене базиса, с матрицей
перехода T , преобразуется [см. формулу (13.4)] в подобную матри-
цу A0 = T −1 AT.
   Рассмотрим в n-мерном пространстве V , помимо "старого" базиса
(34.12), "новый" базис
                          B0 = [ b01 , b02 , ... , b0n ],               (34.120 )
и пусть матрица T описывает переход от старого базиса к новому, а
обратная матрица S = T −1 — обратный переход.
   Обозначим A и A0 матрицы, отвечающие б.ф. f ∈ L2 (V ) в старом
и новом базисах соответственно.

Страницы