Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 433 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 34 Билинейные формы и их матрицы 433
Получим, как следствие общего правила (34.3), представление ис-
комого значения в виде двойной суммы:
f(x, y) =
n
X
i=1
n
X
j=1
x
i
y
j
f(b
i
, b
j
) =
n
X
i=1
n
X
j=1
a
ij
x
i
y
j
, (34.14)
или, окончательно:
f(x, y) =
n
X
i,j=1
a
ij
x
i
y
j
, (34.14
0
)
где введены обозначения
a
ij
= f(b
i
, b
j
); i, j = 1, ... , n (34.15)
для значений формы f на парах базисных векторов.
Скаляры (34.15) составляют квадратную матрицу:
A = (a
ij
)
n
i,j=1
. (34.16)
Определение 34.2. Говорят, что матрица (34.16) соответству-
ет (или отвечает) билинейной форме (34.1) в базисе (34.12).
С помощью матрицы (34.16) выражение (34.14) для значения би-
линейной формы можно представить в следующем виде:
f(x, y) =
n
X
i=1
x
i
n
X
j=1
a
ij
y
j
=
n
X
i=1
x
i
· [A · y ]
i
= x
t
1×n
· ( A
n×n
· y
n×1
) = x
t
A y,
где введены координатные столбцы x, y ∈ P
n
, отвечающие векто-
рам x, y ∈ V в базисе B, и использовано определение матричного
умножения.
Приведем для последующих ссылок координатное выражение би-
линейной формы в окончательном виде:
f(x, y) = x
t
A y. (34.17)
§ 34                  Билинейные формы и их матрицы                                        433

  Получим, как следствие общего правила (34.3), представление ис-
комого значения в виде двойной суммы:

                          n X
                          X n                               n X
                                                            X n
         f (x, y) =                  xi yj f (bi , bj ) =                aij xi yj ,    (34.14)
                          i=1 j=1                           i=1 j=1


или, окончательно:
                                                  n
                                                  X
                                    f (x, y) =            aij xi yj ,                   (34.140 )
                                                  i,j=1

где введены обозначения

                                aij = f (bi , bj ); i, j = 1, ... , n                   (34.15)

для значений формы f на парах базисных векторов.
  Скаляры (34.15) составляют квадратную матрицу:

                                         A = (aij )ni,j=1 .                             (34.16)

  Определение 34.2. Говорят, что матрица (34.16) соответству-
ет (или отвечает) билинейной форме (34.1) в базисе (34.12).

  С помощью матрицы (34.16) выражение (34.14) для значения би-
линейной формы можно представить в следующем виде:

               n
               X          n
                          X                n
                                           X
  f (x, y) =         xi         aij yj =         xi · [A · y ]i = xt · ( A · y ) = xt A y,
                                                                        1×n   n×n n×1
               i=1        j=1              i=1


где введены координатные столбцы x, y ∈ P n , отвечающие векто-
рам x, y ∈ V в базисе B, и использовано определение матричного
умножения.
   Приведем для последующих ссылок координатное выражение би-
линейной формы в окончательном виде:

                                        f (x, y) = xt A y.                              (34.17)

Страницы