Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 432 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

432 Линейные, билинейные и квадратичные формы Гл. 4
Свойства (1) — (4) из определения 34.1 следуют из:
— билинейности матричного умножения;
— линейности операции транспонирования;
— линейности формы (34.9).
(Вам поручается восстановление всех подробностей. Заметьте по-
путно, что в формуле (34.10) можно обойтись без транспонирования,
и тоже получится б.ф. Ниже, в примере 34.6, станет ясно, чем инте-
реснее вариант с транспонированием.)
Пример 34.4. Пусть V = C, рассматриваемое как двумерное
линейное пространство над P = R. Функция
f : C −→ R; f(z, w) = Re(z · w); z, w ∈ C, (34.11)
где на этот раз черта обозначает комплексное сопряжение, являет-
ся б.ф. (Убедитесь в этом и получите заодно координатную формулу:
f(z, w) = xu + yv, для z = x + yi и w = u + vi.)
Если в формуле (34.11) убрать сопряжение, то получится дру-
гая б.ф.:
g : C −→ R; g(z, w) = Re(z · w); z, w ∈ C, (34.11
0
)
с координатным выражением g(z, w) = xu − yv.
Еще один пример б.ф. в этом пространстве:
h : C −→ R; h(z, w) = Im(z ·w); z, w ∈ C; (34.11
00
)
координатное представление найдете сами.
34.2. Матрица билинейной формы. Предположим теперь,
что линейное пространство V является конечномерным (размерно-
сти n) и выберем в нем какой-либо базис
B = [ b
1
, b
2
, ... , b
n
]. (34.12)
Рассмотрим б.ф. f ∈ L
2
(V ) и распишем ее значение f(x, y) на про-
извольной паре векторов (x, y) ∈ V × V , предварительно разложив
эти векторы по базису (34.12):
x =
n
X
i=1
x
i
b
i
; y =
n
X
j=1
y
j
b
j
. (34.13)
432     Линейные, билинейные и квадратичные формы               Гл. 4

   Свойства (1) — (4) из определения 34.1 следуют из:
   — билинейности матричного умножения;
   — линейности операции транспонирования;
   — линейности формы (34.9).
   (Вам поручается восстановление всех подробностей. Заметьте по-
путно, что в формуле (34.10) можно обойтись без транспонирования,
и тоже получится б.ф. Ниже, в примере 34.6, станет ясно, чем инте-
реснее вариант с транспонированием.)
  Пример 34.4. Пусть V = C, рассматриваемое как двумерное
линейное пространство над P = R. Функция

             f : C −→ R; f (z, w) = Re(z · w); z, w ∈ C,       (34.11)

где на этот раз черта обозначает комплексное сопряжение, являет-
ся б.ф. (Убедитесь в этом и получите заодно координатную формулу:
f (z, w) = xu + yv, для z = x + yi и w = u + vi.)
   Если в формуле (34.11) убрать сопряжение, то получится дру-
гая б.ф.:

          g : C −→ R; g(z, w) = Re(z · w); z, w ∈ C,          (34.110 )

с координатным выражением g(z, w) = xu − yv.
   Еще один пример б.ф. в этом пространстве:

         h : C −→ R; h(z, w) = Im(z · w); z, w ∈ C;           (34.1100 )

координатное представление найдете сами.

  34.2. Матрица билинейной формы. Предположим теперь,
что линейное пространство V является конечномерным (размерно-
сти n) и выберем в нем какой-либо базис

                          B = [ b1 , b2 , ... , bn ].          (34.12)

  Рассмотрим б.ф. f ∈ L2 (V ) и распишем ее значение f (x, y) на про-
извольной паре векторов (x, y) ∈ V × V , предварительно разложив
эти векторы по базису (34.12):
                          n
                          X                   n
                                              X
                     x=         xi bi ; y =         yj bj .    (34.13)
                          i=1                 j=1

Страницы