Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 430 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

430 Линейные, билинейные и квадратичные формы Гл. 4
Пополним наш, уже достаточно длинный, список аббревиатур еще
одной — б.ф. (= билинейная форма).
Равенство б.ф. понимается как равенство функций, т. е. поточеч-
но. Примем обозначение L
2
(V ) для множества всех б.ф., заданных
на линейном пространстве V , и введем на этом множестве поточеч-
ные алгебраические действия;
— сложение б.ф.:
(f + g)(x, y) = f(x, y) + g(x, y); f, g ∈ L
2
(V ); x, y ∈ V ; (34.4)
— умножение б.ф. на скаляр:
(λ · f)(x, y) = λ · f(x, y); λ ∈ P ; f ∈ L
2
(V ); x, y ∈ V. (34.5)
Сравните определения (34.4) — (34.5) с аналогичными определе-
ниями (12.1) — (12.1) для линейных операторов и убедитесь в том,
что сумма f + g и произведение λ · f снова являются б.ф.
(Напомним, что в § 12, при изучении линейных операторов, про-
верка указанных фактов также оставлялась читателям. Зато в § 15
пособия [A
1
], при предварительном знакомстве с линейными отобра-
жениями арифметических линейных пространств, этот вопрос рас-
сматривался подробнее.)
Далее нам необходимо убедиться, что алгебраические действия
(34.4) и (34.5) в множестве L
2
(V ) удовлетворяют всем аксиомам ли-
нейного пространства (V
1
) — (V
8
). Однако уже в первом параграфе,
при разборе примеров линейных пространств, было объяснено, что
линейным пространством над полем P является множество F(M, P )
всех функций, заданных на (произвольном) множестве M и прини-
мающих значения в поле P. Замечая, что множество б.ф. содержится
в линейном пространстве F(V × V, P ) и, более того, является в нем
линейным подпространством, мы приходим к выводу, что L
2
(V ) так-
же является линейным пространством (над полем P ).
Приведем несколько примеров билинейных форм.
Пример 34.1. Рассмотрим арифметическое линейное простран-
ство V = P
n
и произвольную (n × n)-матрицу A с элементами из
поля P. Из законов алгебры матриц (см. [A
1
, п. 2.3]) легко выводит-
ся, что функция
f : P
n
× P
n
−→ P ; f(x, y) = x
t
· A · y; x, y ∈ P
n
(34.6)
430       Линейные, билинейные и квадратичные формы                    Гл. 4

   Пополним наш, уже достаточно длинный, список аббревиатур еще
одной — б.ф. (= билинейная форма).
   Равенство б.ф. понимается как равенство функций, т. е. поточеч-
но. Примем обозначение L2 (V ) для множества всех б.ф., заданных
на линейном пространстве V , и введем на этом множестве поточеч-
ные алгебраические действия;
   — сложение б.ф.:

      (f + g)(x, y) = f (x, y) + g(x, y); f, g ∈ L2 (V ); x, y ∈ V ;   (34.4)

  — умножение б.ф. на скаляр:

       (λ · f )(x, y) = λ · f (x, y); λ ∈ P ; f ∈ L2 (V ); x, y ∈ V.   (34.5)

   Сравните определения (34.4) — (34.5) с аналогичными определе-
ниями (12.1) — (12.1) для линейных операторов и убедитесь в том,
что сумма f + g и произведение λ · f снова являются б.ф.
   (Напомним, что в § 12, при изучении линейных операторов, про-
верка указанных фактов также оставлялась читателям. Зато в § 15
пособия [A1 ], при предварительном знакомстве с линейными отобра-
жениями арифметических линейных пространств, этот вопрос рас-
сматривался подробнее.)
   Далее нам необходимо убедиться, что алгебраические действия
(34.4) и (34.5) в множестве L2 (V ) удовлетворяют всем аксиомам ли-
нейного пространства (V1 ) — (V8 ). Однако уже в первом параграфе,
при разборе примеров линейных пространств, было объяснено, что
линейным пространством над полем P является множество F(M, P )
всех функций, заданных на (произвольном) множестве M и прини-
мающих значения в поле P. Замечая, что множество б.ф. содержится
в линейном пространстве F(V × V, P ) и, более того, является в нем
линейным подпространством, мы приходим к выводу, что L2 (V ) так-
же является линейным пространством (над полем P ).
   Приведем несколько примеров билинейных форм.
   Пример 34.1. Рассмотрим арифметическое линейное простран-
ство V = P n и произвольную (n × n)-матрицу A с элементами из
поля P. Из законов алгебры матриц (см. [A1 , п. 2.3]) легко выводит-
ся, что функция

         f : P n × P n −→ P ; f (x, y) = xt · A · y; x, y ∈ P n        (34.6)

Страницы