Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 431 стр.

§ 34            Билинейные формы и их матрицы                    431

является б.ф. на V. (Прежде всего, проследите за тем, как произве-
дение (1 × n)-строки, (n × n)-матрицы и (n × 1)-столбца дает (1 × 1)-
матрицу, отождествляемую со скаляром из P. Затем примените дис-
трибутивные законы и законы вынесения скаляров из сомножителей
матричного произведения.)
   В п. 34.3 мы убедимся в том, что (34.6) является общим видом б.ф.
на арифметическом линейном пространстве и, более того, всякая
б.ф. на к.л.п. в координатах выражается формулой типа (34.6).
   Особо отметим случай единичной матрицы: A = En . Билинейная
форма
             f : P n × P n −→ P ; f (x, y) = xt · y; x, y ∈ P n (34.7)
назывется стандартным скалярным произведением в пространст-
ве P n . (Однако это понятие относится уже не к собственно линейной
алгебре, но является исходным пунктом построения линейной гео-
метрии.)
  Пример 34.2 (продолжение примера 11.1). Рассмотрим (беско-
нечномерное) линейное пространство V = C([a, b], R) непрерывных
функций, заданных на отрезке [a, b] числовой оси R. Из свойств опре-
деленного интеграла легко выводится, что функция от двух функций
                            Z b
                 f (x, y) =     x(t)y(t) dt; x, y ∈ V         (34.8)
                              a

является билинейной формой, которую можно рассматривать как
бесконечномерное обобщение скалярного произведения (34.7).
   (Начальный, "героический" период развития функционального
анализа характеризовался очень высоким эмоциональным напряже-
нием. Попытайтесь разделить "эйфорию первооткрывателей", пред-
ставив себе, как дискретная переменная (индекс) i, принимающая
целые значения от 1 до n, "перерождается" в непрерывную пере-
менную (аргумент) t, пробегающую отрезок [a, b], а конечная сумма
P n
  i=1 xi yi превращается Rв бесконечную (континуальную) сумму —
                           b
определенный интеграл a x(t)y(t) dt.)
  Пример 34.3. На линейном пространстве V = L(n, P ) квадрат-
ных матриц задана линейная форма след [см. (13.34)]:
            tr : L(n, P ) −→ P ; X 7→ tr(X); X ∈ L(n, P ),      (34.9)
с помощью которой можно определить на V б.ф.
                   f (X, Y ) = tr(X t · Y ); X, Y ∈ V.         (34.10)