Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 429 стр.

§ 34                Билинейные формы и их матрицы                    429

         § 34. Билинейные формы и их матрицы

  34.1. Понятие билинейной формы на линейном простран-
стве. Рассмотрим линейное пространство V над полем P .
  Определение 34.1. Билинейной формой (или функцией) на ли-
нейном пространстве V называется отображение

                   f : V × V −→ P ; x 7→ f (x, y); x, y ∈ V         (34.1)

декартова квадрата пространства V в поле P, линейное по каждому
из аргументов, т. е. удовлетворяющее условиям
   (1) f (x + x0 , y) = f (x, y) + f (x0 , y);
   (2) f (λx, y) = λf (x, y);
   (3) f (x, y + y 0 ) = f (x, y) + f (x, y 0 );
   (4) f (x, λy) = λf (x, y),
для любых λ ∈ P ; x, x0 , y, y 0 ∈ V.
   Замечание 34.1. Эти условия не являются для нас принципиально
новыми. Уже в первом пособии [A1 ] говорилось (см. доказательство
теоремы 2.1) о свойстве билинейности для произведения матриц и
даже — о свойстве полилинейности (при изучении определителей;
см. §§ 24, 26).
  Отметим следствия из определения билинейных форм:
  1) обычная линейность функции одной переменной x 7→ f (x) вле-
чет "сохранение нуля": f (0) = 0; наличие двух аргументов и линей-
ности по каждому из них приводит к свойствам:

                               f (0, y) = 0 = f (x, 0)              (34.2)

для любых x, y ∈ V ;
  2) линейные функции от одного переменного сохраняют линейные
комбинации [см. (1.11)]; для билинейных функций (форм), при на-
личии линейных комбинаций по каждому из аргументов, значение
формы раскрывается как двойная сумма:

                   Xk         l
                              X           k X
                                          X l
                 f(   λi ai ,   µj bj ) =     λi µj f (ai , bj ),   (34.3)
                    i=1        j=1            i=1 j=1


где λi , µj ∈ P ; ai , bj ∈ V (i = 1, ... , k; j = 1, ... , l).