Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 427 стр.

§ 33     Двойственный оператор. Теорема Фредгольма           427

   Скажем, в булевой алгебре 2I подмножеств некоторого множе-
ства I (см. п. 1.7) всякому подмножеству A ⊆ I сопоставляется его
дополнение A = X \ A. Инволютивность этого соответствия выража-
ется законом: A = A.
   Только что мы познакомились с двойственностью для конечно-
мерных линейных пространств: всякому объекту (к.л.п.) V сопо-
ставляется двойственный объект (двойственное к.л.п.) V ∗ . Инволю-
тивность здесь имеет несколько более сложный хараткер: второе
двойственное пространство V ∗∗ не равно, но канонически изоморфно
исходному пространству.
   Еще одним типичным свойством двойственности является обраще-
ние включений для подобъектов. В простейшем (булевом) примере
включение A ⊆ B влечет противоположное включение A ⊇ B для
дополнений.
   В линейной алгебре подобъекты суть линейные подпространства
W 6 V . Каждому из них отвечает двойственный подобъект — ан-
нулятор W ◦ 6 V ∗ , причем включения между подпространствами
снова "переворачиваются": более широкому подпространству отве-
чает более узкий аннулятор (см. утверждения (3а) и (3b) в предло-
жении 32.5), второй аннулятор совпадает с исходным подпростран-
ством.
   Законы де Моргана (b.9) и (b.18) в булевой алгебре (см. при-
мер 1.7) можно трактовать следующим образом: объединению (пе-
ресечению) множеств соответствует пересечение (объединение) их
дополнений. Можно говорить о взаимной двойственности алгебраи-
ческих действий объединения и пересечения.
   Сходное явление мы наблюдали в линейной алгебре, только опера-
ция объединения здесь замещается на операцию сложения (подпро-
странств). Утверждения (5а) — (6b) предложения 32.5 следует трак-
товать как установление взаимной двойственности алгебраических
операций сложения и пересечения для линейных подпространств.
   Принято также говорить о "надматематическом" принципе двой-
ственности для утверждений (аксиом, теорем, предложений), по-
нимая под этим следующее правило: каждому истинному утвержде-
нию об объектах отвечает (также истинное) утверждение о двой-
ственных объектах, в котором все включения обращены, все алгебра-
ические действия заменены двойственными, наименьший (нулевой)
объект заменен на наибольший и т. д.
   В сводке законов булевой алгебры (b.1) — (b.19) они были спе-
циально расположены в два столбца так, чтобы в каждой строке