Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 426 стр.

426     Линейные, билинейные и квадратичные формы                Гл. 4

  2. Пусть x ∈ Ker(ϕ), т. е. ϕ(x) = 0. Возьмем любую форму
f ∈ Im(ϕ∗ ), т. е. такую, которая представляется в виде f = ϕ∗ (g)
для некоторой формы g ∈ W ∗ . Будем иметь:
                                (33.5)
              f (x) = ϕ∗ (g) (x) === g(ϕ(x)) = g(0) = 0.

  Это означает, что вектор x принадлежит аннулятору Im(ϕ∗ ).
  Включение Ker(ϕ) 6 (Im(ϕ∗ ))◦ доказано. На самом деле оно яв-
ляется равенством в силу совпадения размерностей:

  dim((Im(ϕ∗ ))◦ ) = n − dim(Im(ϕ∗ )) = n − rank(ϕ∗ ) =
                                         (33.26)
                 = n − rank(ϕ) = n − r === dfc(ϕ) = dim(Ker(ϕ)).

  Оба утверждения, провозглашенные в теореме, доказаны. ¤
   Замечание 33.5.∗ "Рабочие" приложения теоремы Фредгольма ос-
нованы на следующей идее: для того, чтобы выяснить, принадлежит
ли вектор b ∈ W образу оператора ϕ, достаточно убедиться в том,
что на этом векторе аннулируются базисные (и, следовательно, все)
элементы ядра Ker(ϕ∗ ).
   В координатной записи речь идет о разрешимости неоднородной
с.л.у. Ax = b, и критерием этого является обращение в нуль всех
произведений gk t ·b, для всех базисных решений gk t (k = r+1, ... , m)
                                         t
двойственной однородной с.л.у. g t A = 0 , или, что равносильно, —
обращение в нуль произведения матриц:

                         Gt     · A =       O      ,
                      (m−r)×m    m×n     (m−r)×n


где r = rank(A), а G — фундаментальная матрица для однородной
с.л.у. At g = 0.

  33.4.∗ Неформальные рассуждения о природе двойствен-
ности. Строгого и всеобъемлющего определения понятия двойст-
венности дать, по-видимому, нельзя. Однако, природу этого явле-
ния можно почувствовать на отдельных примерах, с некоторыми из
которых мы уже сталкивались.
  Важнейшим атрибутом двойственности, как правило, выступает
некоторое инволютивное соответствие, сопоставляющее объектам
некоторого класса двойственные объекты (в этом же или в другом
классе).