Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 424 стр.

424      Линейные, билинейные и квадратичные формы                 Гл. 4

  Такой подход позволяет видоизменить утверждение предложе-
ния 33.2 о матрице двойственного линейного оператора: если коор-
динаты линейных форм записывать в строку и так же, по строкам,
заполнять матрицу для двойственного оператора, то последняя ока-
жется тождественной с матрицей исходного оператора.
   Замечание 33.3. Ранг линейного оператора совпадает с рангом
его матрицы, поэтому предложение 33.2 влечет равенство рангов
данного оператора и двойственного к нему:

                 rank(ϕ∗ ) = rank(At ) = rank(A) = rank(ϕ).       (33.25)

  В то же время дефекты операторов ϕ и ϕ∗ , вообще говоря, раз-
личны, поскольку
                       dfc(ϕ) = n − r,                  (33.26)

а
                             dfc(ϕ∗ ) = m − r,                    (33.27)

где r = rank(ϕ).
   Замечание 33.4 (продолжение замечания 12.2). Во второй главе,
в предложении 12.1 приводился список из 13 законов алгебры линей-
ных операторов, в то время как для алгебры матриц (см. [A1 , п. 2.2])
рассматривалось 17 законов. Последние четыре из них относились
к алгебраической операции транспонирования матриц.
   В начальных параграфах настоящей главы мы познакомились с
новым алгебраическим действием в алгебре линейных операторов —
переходом к двойственному оператору ϕ 7→ ϕ∗ . Далее это действие
было увязано с переходом A 7→ At к транспонированной матрице.
   В предложении 33.1 и в замечании 33.1 были фактически сформу-
лированы "недостающие законы" алгебры операторов, соответству-
ющие законам (xiv) — (xvii) алгебры матриц.
   Ниже они приводятся повторно, в форме, аналогичной соотноше-
ниям (i) — (xiii):
            ϕ
(xiv ) ( ∀ V −→ W ) [ ϕ∗∗ = ϕ ] (при отождествлении V ∗∗ ≡ V );
           ϕ,ψ
(xv ) ( ∀ V −−→ W ) [ (ϕ + ψ)∗ = ϕ∗ + ψ ∗ ];
                      ϕ
(xvi ) ( ∀ λ ∈ P ; V −→ W ) [ (λϕ)∗ = λ ϕ∗ ];
             ϕ         ψ
(xvii ) ( ∀ V −→ W −→ U ) [ (ψ ◦ ϕ)∗ = ϕ∗ ◦ ψ ∗ ].