Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 423 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 33 Двойственный оператор. Теорема Фредгольма 423
где
s
ji
= [ϕ
∗
(c
∗
i
)]
j
. (33.22)
Формула (33.21) является равенством линейных форм (элемен-
тов V
∗
); их координаты относительно базиса (33.16
∗
) могут быть
вычислены с помощью соотношений (31.6); далее используется опи-
сание (33.5) действия двойственного оператора, а также определение
двойственного базиса:
s
ji
= [ϕ
∗
(c
∗
i
)]
j
(31.6)
=== ϕ
∗
(c
∗
i
) (b
j
)
(33.5)
=== c
∗
i
(ϕ(b
j
))
(33.19)
===
= c
∗
i
(
m
X
k=1
a
kj
c
k
) =
m
X
k=1
a
kj
c
∗
i
(c
k
)
(31.14)
===
m
X
k=1
a
kj
δ
ik
= a
ij
.
Соотношение (33.18) доказано. ¤
Замечание 33.2. Как известно (см. п. 12.4), действие y = ϕ(x);
(x ∈ V ; y ∈ W ) линейного оператора может быть арифметизовано
(выражено в координатах) с помощью матрицы этого оператора:
y = Ax; x ∈ P
n
; y ∈ P
m
. (33.23)
Для действия f = ϕ
∗
(g) (g ∈ W
∗
; f ∈ V
∗
) двойственного операто-
ра также может быть произведена арифметизация:
a = A
t
· b, (33.24)
где
b =
β
1
β
2
...
β
m
∈ P
m
; a =
α
1
α
2
...
α
n
∈ P
n
(33.25)
— координатные столбцы, отвечающие формам f и g в соответству-
ющих двойственных базисах.
Однако для форм более естественной является запись координат
в строку (см. п. 31.2), в связи с чем можно транспонировать соотно-
шение (33.24):
a
t
= b
t
· A, (33.24
t
)
где b
t
∈
∗
P
m
, a
t
∈
∗
P
n
.
§ 33           Двойственный оператор. Теорема Фредгольма                                     423

где
                                     sji = [ϕ∗ (c∗i )]j .                                 (33.22)
  Формула (33.21) является равенством линейных форм (элемен-
тов V ∗ ); их координаты относительно базиса (33.16∗ ) могут быть
вычислены с помощью соотношений (31.6); далее используется опи-
сание (33.5) действия двойственного оператора, а также определение
двойственного базиса:

                       (31.6)                 (33.5)               (33.19)
  sji = [ϕ∗ (c∗i )]j === ϕ∗ (c∗i ) (bj ) === c∗i (ϕ(bj )) ===
                            m
                            X                 m
                                              X                            m
                                                                           X
                        ∗                                        (31.14)
                   =   ci (    akj ck )   =         akj c∗i (ck ) ===            akj δik = aij .
                           k=1                k=1                          k=1


   Соотношение (33.18) доказано. ¤
   Замечание 33.2. Как известно (см. п. 12.4), действие y = ϕ(x);
(x ∈ V ; y ∈ W ) линейного оператора может быть арифметизовано
(выражено в координатах) с помощью матрицы этого оператора:

                                y = Ax; x ∈ P n ; y ∈ P m .                               (33.23)

  Для действия f = ϕ∗ (g) (g ∈ W ∗ ; f ∈ V ∗ ) двойственного операто-
ра также может быть произведена арифметизация:

                                          a = At · b,                                     (33.24)

где
                                               
                            β1                α1
                           β              α 
                       b =  2  ∈ P m; a =  2  ∈ P n                                   (33.25)
                            ...               ...
                            βm                αn
— координатные столбцы, отвечающие формам f и g в соответству-
ющих двойственных базисах.
   Однако для форм более естественной является запись координат
в строку (см. п. 31.2), в связи с чем можно транспонировать соотно-
шение (33.24):
                                     t
                               at = b · A,                  (33.24t )
       t   ∗            ∗
где b ∈ P m , at ∈ P n .

Страницы