Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 421 стр.

§ 33     Двойственный оператор. Теорема Фредгольма               421

  Действие оператора (33.10) на произвольном элементе α ∈ V ∗∗
представляется [вытекающей из общего определения (33.4)] форму-
лой
                        ϕ∗∗ (α) = α ◦ ϕ∗ ,               (33.11)
которая, будучи равенством в пространстве W ∗∗ , может быть рас-
писана подробнее, на любой линейной форме g ∈ W ∗ :
        ϕ∗∗ (α) (g) = (α ◦ ϕ∗ )(g) = α(ϕ∗ (g)) = α(g ◦ ϕ).    (33.12)
  Если (конечномерные) линейные пространства V и W с помощью
канонических изоморфизмов κ [см. (32.3)] отождествить с их вто-
рыми двойственными пространствами V ∗∗ и W ∗∗ , то оператор ϕ∗∗
отождествится ϕ.
  Точный смысл последнему высказыванию можно придать с помо-
щью еще одной диаграммы.
                                                    Диагр. 33.4
                               ∗∗
                              ϕ
                     V ∗∗ −−−−−−−−−→ W ∗∗
                    ∼
                    = ↑κ            κ↑∼ =
                              ϕ
                     V −−−−−−−−−−→ W

  Докажем, что отображения, представленные на дигр. 33.4, связа-
ны условием:
                       ϕ∗∗ ◦ κ = κ ◦ ϕ.                  (33.13)
  Заметьте, что (и в диаграмме, и в формуле) одна и та же буква κ
обозначает два разных изоморфизма (для разных пространств).
  Формула (33.13) есть равенство операторов, оно подлежит про-
верке на произвольном векторе x ∈ V :
                       (ϕ∗∗ ◦ κ)(x) = (κ ◦ ϕ)(x).             (33.14)
  Обе части равенства (33.14) представляют из себя элементы вто-
рого двойственного пространства W ∗∗ , т. е. линейные формы на ли-
нейных формах. Следовательно, это равенство подлежит проверке
на произвольном элементе (форме) g ∈ V ∗ :
                   (ϕ∗∗ ◦ κ)(x) (g) = (κ ◦ ϕ)(x) (g).         (33.15)
   Далее следует выкладка, доказывающая (33.15):
                                   (33.12)
  (ϕ∗∗ ◦ κ)(x) (g) = ϕ∗∗ (κ(x)) (g) === κ(x) (g ◦ ϕ) =
        (32.3)                      (32.3)
         === (g ◦ ϕ)(x) = g(ϕ(x)) === κ(ϕ(x)) (g) = (κ ◦ ϕ)(x) (g).